第四讲 圆的基本性质

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1、第三讲《圆的基本性质、圆的对称性》1、圆的定义圆的描述性定义：在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。圆的点集定义：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。2、点和圆的位置关系（表示圆心与点之间的距离）点在圆内d＜r点C在圆内点在圆上d＝r点B在圆上点在此圆外d＞r点A在圆外3、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆是中心对称图形，对称中心是圆心（也是旋转对称图形）。4、与圆有关的概念弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧，小于半

2、圆的弧叫做劣弧。等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。弦心距——从圆心到弦的距离叫做弦心距。圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对

3、的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。简述：垂径定理是指：一条弦，在“过圆心”、“垂直另一条弦”、“平分另一条弦”、“平分这另一条弦所对的劣弧”、“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中，任意具备两个，则必具备另外三个（其中具备了第1，3个条件作为定理的前提时，要对另一条弦增加“它不是直径”的限制）数学语言描述：如图1，在“经过圆心”、“”、“”、“”、“”的五个条件中，任意具备两个，则必具备另外三个。6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，如果有“两知弦相等”、“它们

4、所对的劣（优）弧相等”、“它们的弦心距相等”、“它们所对的圆心角相等”、“它们的同在劣（优）弧上所对的圆周角相等”这7个条件中的任意一个，可以推出其余6个（用弧相等为题设时，不必在“同圆或等圆中”的题设条件）推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。例题讲解：例题1：已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC＝∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．例题2：已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．例题3：已知：如图，AB是⊙O的直径

5、，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．例题4：已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．例题5：已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．例题6：已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．例题7：已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．基础测试题《圆的基本概念》1、⊙O的半径为2㎝，弦AB所对的劣弧为圆周

6、长的，则∠AOB＝，AB＝____2、下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③过圆内一点有无数多条弦，这些弦都相等；④直径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1个，B．2个，C．3个，D．4个3、如图，AB＝AC＝AD，这可以说明，点B、C和都在以点为圆心，以为半径的圆上，其中圆心角有。4、半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为5、已知P为⊙O内一点，过P点的最长的弦有（）A．1条，B．无数条，C．1条或无数条，D．以上答案均不对6、下列说法中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧，B．弦是直径，C．过圆心的直线是直径，D．两个半径相等的圆是等圆。7、如图，AB，

7、AC是⊙O的两弦，且AB＝AC，求证：∠1＝∠2。8、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠AEC＝180，求∠AOC的度数。《四量定理》1、如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，如果AB＝CD，∠AOB＝700，那么∠COD＝。2、如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD＝600，且＝，那么与∠AOE相等的角有，与∠AOC相等的角有。3、在⊙O中，AB、CD是两条相等的弦，则下列说法中错误的是（）A．AB、CD所对的弧一定相等；B．AB、CD所对的圆心角一定相等；C．△AOB和△