美国高中数学教材中图形变换内容及启示

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1、美国高中数学教材中图形变换内容及启示变换与现代数学的许多分支（如画法几何）建立了多维度的联系，从变换的观点来思考问题，这不仅对于几何证明和作图有重要作用，还有助于学生获得对其他内容真正的理解.变换的思想在各国数学教材中以不同形式得到了体现，其内容在处理方法上则各有不同•英国的SMP教材运用移动图形的观点，通过实际操作讲授对称、平移、旋转等内容•美国2000数学课程标准则将变换内容作为几何领域的四大要求之一：“用示意图、坐标、向量或矩阵表示平面上对象的平移、反射、旋转和放大、缩小，并用这些表示去获得关于变换的信息；把变换（在复合运算意义下）理解成函数的代数系统”[1]•美国迈克道格公

2、司新近出版的高中数学教材[2]（以下简称教材）则把该部分内容独立成章，凸显变换地位，诸多特点对我国高中数学教材建设颇具借鉴意义.1内容安排教材把变换的内容分为三章逐步展开，第七章介绍平面上的刚体运动、反射、旋转、变换与向量、滑移反射及合成、雕带图案，共6节•第八章介绍比率与比例、比例的应用、相似多边形、相似三角形，相似三角形的证明、比例与相似三角形、放大，共7节.有关矩阵变换内容则放在代数部分.每一章的结构分为问题情境、学习指导（复习，准备，学习策略）、本章内容、本章小结、本章回顾与评价（本章水平测试）、设计题•每一小节又分为活动（拓展概念，信息技术应用）、各节的学习内容（围绕你应

3、学到什么，你为什么学展开）、练习指导•这种独立成章的编排使内容相对完整，力图反映美国课程标准的要求.同时，教材并不追求知识体系的严密性，而是让学生通过案例认识变换，理解变换的性质并能运用变换解决问题.2主要特点2.1密切联系生活，注重变换应用教材从多角度、多层次编排了变换应用的内容，特别是在日常生活中的应用.首先，教材抓住日常生活中的建筑问题作为全章变换内容的引入，并围绕应用展开（例1）.这种引入方式不仅有利于创设主动的问题情境，而且有利于学生体会到变换就在你身边，或者说你身边的问题需要用变换知识来解决，从而吸引学生到学习中来•同时，这种结合操作引入变换概念，让学生的思维从静态的图

4、形转向动态的变化，教材的这种做法无疑能让学生体会用运动变化的观点或思想观察和分析周围的事物，并逐步内化为学生认识事物和解决问题的方法.例1建筑师怎样运用变换？建筑师常常在建筑设计中添加一些装饰图案，这些装饰给建筑增添了色彩，也体现了建筑的特征•依靠图形以及图形的变换可以进行一些建筑设计，例如，可以经过图形的平移、反射、以及旋转构造出新的图案.思考与讨论：①图形A是经过怎样的运动得到图形B的？如图：.②讨论一下设计中存在的其他变换.学习更多：你将在练习35—37（p.435）中了解更多建筑中的图形变换.应用链接：登录www.McDougalLittel.com,可查阅更多有关建筑中的

5、图形变换信息•应用链接拓展了变换内容极其应用的空间，更进一步拓展了学生的数学视野.其次，教材中有关变换应用的例子和习题比比皆是，其内容涉及建筑、航海、服装等多方面，充分显示了变换应用的广泛性•教材甚至单独编排了雕带图案一节，进一步加强了变换在日常生活中的应用（例2）•这种利用变换设计图案是十分有趣的实践活动，让学生自己动手设计和创造优美的图案，不仅能熟悉各种变换的特征，而且可以更好地发挥学生的主动性和创造性.例2用如下图的瓷砖装饰浴室墙壁（如图：），瓷砖边缘的连接是典型的TR型（平移和旋转180°）,画出符合条件的图案.解首先把给定的瓷砖旋转180。，然后把这块瓷砖和原来的瓷砖轮流

6、对称设计出一种式样，重复几次制作出装饰横条.如图：.此外，教材在这一部分辟有不少小栏目，其中有些栏目是关于应用的•如"聚焦职业”这一栏目，就介绍了商标设计、建筑中应用变换的事例.2.2渗透数形结合的思想方法，注重几何直观教材在这一问题上作了一些有益探索，比较突出地表现在如下方面：(1)具体的变换大多以直观给以表示.如，建筑装饰图与平移、车轮与旋转等等•这种结合实物图来介绍具体变换比较直观，学生容易理解；反过来，学生对相应的几何图形性质认识也比较深刻.(2)注意坐标法的应用•坐标把几何图形和数量关系联系起来，实现了数形结合•教材包含坐标与图形的位置，坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画

7、在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等•如，学习滑行反射及合成时，结合平面直角坐标系，画出一个图形经过x轴,再经过y轴反射的图形；画出一个图形关于y轴反射后，又绕原点旋转90°的图形，等等.(3)注重向量法的应用•向量作为沟通数与形的重要工具，在变换中有着广泛的应用(如例3).例3向量在平移中的应用GH的分量形式是〈4,2),把顶点坐标分别为A(3,-1)、B（1,1）、C（3,5）的三角形沿GH进行平移.2.3呈现方式多样化注重图文并茂是美国教材的