资源描述：
《一道2012年高考试题启示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道2012年高考试题启示摘要：一年一度中高考试题一直是我们教学研究的主要对象，尤其是在高考中出彩的试题，更备受青睐，因为它内容够深刻、设计够新颖、研究够丰富，作为开发学生的智力和发展学生的思维具有一定的积极作用，是一些非常有效的素材。本文通过一个简单的含参数学问题的思路剖析,展示其题解的思维过程，给读者总结了一些有关含参数学问题的解题思维方面的启示。关键词：高考；双参数；数学思维纵观历年的各省高考试题，含参数的数学问题一直是居高不下，其中还有不少试题含有多个参数，对于这些问题，很多学生望而生畏，骑虎难下，深感困难重重，难以决策。
2、G•波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”。本着这样的教学理念，本文旨在通过一个简单的含参数学问题的思路剖析，展示其题解的思维过程，望能给读者一些有关含参数学问题的解题思维方面的启示。题目：(2012年天津高考试题)设m,neR,若直线(m+1)x+(n+1)y_2二0与圆(xT)2+(y-1)2二1相切，则m+n的取值范围是()[?]试题分析与探索这是一道以直线和圆的位置关系为背景，考查参数取值
3、范围的问题。试题内容基础，设计背景平淡，难度不大，所以适宜于课堂教学。1.不等式的角度探究1：由题设直线(m+1)x+(n+1)•y_2=0与圆(xT)2+(y-1)2二1相切可知，圆心(1,1)到直线的距离为d==l,化简得mn=m+n+l.(*)规律总结：由条件得到等式mn=m+n+l,它具有这样的特征：等式中含有也只含参数m,n和与积的形式，于是我们可以联想到用基本不等式求解。2.方程的角度探究2-1：由探究1中(*)式知mn二m+n+1,设m+n二t,则mn=t+l,所以m,n是方程x2-tx+t+l=0的两个实数根，从而
4、△二t2-4(t+1)士0,解得tw(-8,2-2]U[2+2,+8)。探究2-2：由探究1中(*)式知mn二m+n+1,设m+n二t,贝m=t-n,从而n(t-n)二t+1,即n2-nt+t+l=0o由题意可知上式关于n的方程有解，故A=t2-4(t+1)20,解得tG(-00,2-2]U[2+2,+8)。规律总结：对于含有两参数m,n和积形式的条件等式,我们联想到韦达定理，通过构造方程来求解；或采用逆向代换，通过消参得到某一参数为变元的方程，然后根据方程有解来求目标量的取值范围。1.函数的角度探究3T：由探究1中(*)式知mn
5、=m+n+1,从而m二,故m+n=+n=+(n-1)+2O函数y二+x+2,yf=-+l,所以当x>或x0,函数是递增函数，当T时,m+n二+(n-1)+222+2；当n0,b^R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+bo(I)证明：当OWxWl时，(❷)函数f(x)的最大值为在直角坐标系aOb中，(1)所表示的平面区域为图中所示的阴影部分，其中不包括线段BC。作一组平行线a+b=t(teR),得-1探究2：由(❷)知，当OWxWl时，所以a+b二(3a-b)+2(b_a)W3，且a+b24a-1>-1,所以a+b的取值范围是(~
6、1,3]o探究3：设a+b=t,则b=t_a,代入探究2(*)式可知所以a+b的取值范围是(-1,3]o评注：探究1采用线性规划的知识求解双参数目标式a+b的取值范围，是解决本题最为直接的方法；探究2是运用不等式的性质，通过把3a-b与b-a看做两个独立的变量，并用它们和a来表示a+b,进而求出a+b的取值范围；探究3则是利用整体思想逆代消元，然后利用不等式的性质求解。探究2与3,从本质上讲是一样的，只是采用的思维方式不同，但其过程的呈现与理解的程度是有所不同的，两者在代数变形的要求上略有差异，很显然，整体思维逆代法更让人容易理解
7、与接受。例2(2011湖北省高中数学竞赛，高一年级)已知a,bWR,关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+l=0有一个实根，求a2+b2的最小值。解法1：设r为方程x4+ax3+2x2+bx+l二0的实根，则有r4+ar3+2r2+br+l=0,即(r2+l)2+r(ar2+b)=0o显然r#0.容易证明(ar2+b)2<(a2+b2)(r4+l),于是因此a2+b2的最小值为8o解法2：x4+ax3+2x2+bx+l二x3•a+x•b+x4+2x2+l二0有一个实根，则在直角坐标系aOb中，存在实数x使此方程表示一条直线1,于
8、是a2+b2表示原点0(0,0)与P(a,b)之间的距离的平方，下面只需求出原点0(0,0)到直线1距离d的最小值即可。而d二上二2,即a2+b2^d^8故当且仅当x4+l=2x2且OP±1时，a2+b2的最小值为8此时a2+b2=8,评注:解法1
