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1、浅谈一道习题给予的启示永川区第六中学校潘祥万问题：梯形ABCD中，点E、F分别在腰AB、CD±,EF〃AD,AE：EB=m：n,求证：(m+n)EF=mBC+nAD□你能由此推岀梯形的屮位线公式吗？对于上述问题，引导学生动手画图，不难推证出结果。只要得证，结合梯形中位线的条件，与这个问题的结论作类比，立即可以得出中位线公式。而这里我并不想马上对此问题作出证明，只想结合三角形中位线、梯形的中位线谈一谈此题在解题教学中给予的启不。启示一：挖掘典型题例的潜在功能，促学生创新思维的再培养。典型题例Z所以受到教辅资料•及课木编者的青睐
2、，很简单的一个理就是功能潜在、余味无穷、意义深远。当然，编者采用这样的题例，述考虑到它的延伸性，对后继学习有一定的辅助作用，可以促进学生创新思维的培养和发展。作为教者，引导学生结合三角形中位线定理和梯形中位线定理的内容，让其进行探究，认清了问题的本质，就不难找到解决问题的办法。启示二利用课本知识的衔接点，培养学生的探究意识。基于上述问题，在学完了初二《几何》第四章及学了初二《几何》第五章的《平行线分线段成比例》后，在适当时机，利用课堂上学生求知心切和思维活性高的时机，在“最近发展区”里，老师可把上述问题设置成一个探索题(结论
3、不明确给予)，只作适当的引导、点拨，让学生利用所学知识推证EF、BC、AD三者之间的关系。进而让学生口主学习，积极主动求得口身的发展。接下来的工作就是让学生对已经所学知识作一个回顾、反思。而回顾、反思的过程实际上是思维过程的再现，这是有助于学生探究意识的提高。启示三认清问题的木质，正确运用结论解题。既然要利用结论解题，那么结论性的东西得去背，去记也是情理之事。当然，为了重现思维的过程，不妨把这个问题在此作一证明。已知:如图证法一：如图(1)连结AC交EF于G。・.・AD〃BC,AD〃EF,AE:EB=m:n・・・EG〃BC,
4、FG〃AD,DF:FC=m:nAAE:AB=EG:BC,FG:AD=FC:CD/.EG:BC=m:(m+n)FG:AD=n:(m+n)•mBC—nAD••EG—,FG-m+nm+n又EF=EG+FG•__mBCnADmBC+nAD■・EF二1=m+nm+〃m+n证法二如图(2)过A点作AG//DC,交EF于H。•・・BC〃AD〃EF,AG〃DC.AD=HF=GC・・・EH〃BG,乂AE:BE=m:n/.EH:BG=AE:AB=m:(m+n)•EF=EH+FH=+BG+HFmBC+nADm+nXBG=BC-GC=BC-AD
5、,HF=AD•••(m+n)EF=m(BC-AD)+(m+n)AD=mBC+nAD,即EF=当EF为梯形的屮位线吋，AE:EB=1:1,即El,得EF二竺严证完之后，不妨冋过头来想一想，比较一下梯形中位线与此问题是否存在内在联系呢？比较发现：梯形小位线公式实际上是这个问题的特殊情形。如果将此问题视作梯形中位线定理的推广口J*以加以运用的话，那么它的结论在解决冇关竞赛题时冇很好的用途。下面有一题可以直接利用上述结论解答。如图，梯形ABCD中，AB〃EF〃CD,且CF1——,AB=a,DC=b,则EF二()FB3A、a+b“a+
6、bB、24C、3a+b4当然，对上题的解答必须注意把问题的背景弄清，方可利用结论解乙否则将功亏一畫，导致选中错课选项。练习(1)如图(a)AD〃EF〃BC,且AE=2EB,AD=3BC=10,则EF=练习(2)如图(b)AD〃EF〃BC,若AE:BE=m:n,则EF、BC、AD乂有何关系？启示四：通过类比提问，暴露学生的思维过程。上面两个练习是否都能用证明过的结论呢？答案是否定的，练习（1）可以，而练习（2）则不能。为什么呢？这吋学生已暴霜出问题來，得及吋加以引导，修正匕述结论。认真仔细地斟酌分析图（1）、图（b）可以发现两
7、者Z间的联系。图（b）实际上是一种被扭曲了的梯形，即可称Z为广义的梯形。既然谈到冇联系，那么图（1）与图（b）的结论必将存在一定的差异。这个差异在什么地方呢？事实上过A点作AH〃DC,交BC的延长线于H,延长EF交AH于G,即可得以解决，EF、AD、BC的关系为EF二巴竺二^2。如果继续将图（1）与图（b）涉及的问题加以类比，在教师的引导点拨下，学生的动手操作中，师生互动合作，生生互动合作的参与、修止。可以将图（1）与图（b）涉及的三者的关系融合成一个式子EF=阪土,结合图形，正确理解“士”的意义,m+n在今后碰到类似的问题
8、是不难解决的，同时，对学牛的解题思维的训练和老师的教学是大冇裨益的。料：（1）刘锐诚主编，数学（初二），人民口报出版社。（2）吴效锋主编，新课程怎样教，沈阳出版社。（3）滕发祥编，数学解题教学论，四川教育出版社。发散思维训练的又一途径——一题多解永川区第六中学校潘祥万在课堂解题教学屮，主要
