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1、浅谈一道习题给予的启示永川区第六中学校潘祥万问题:梯形ABCD中,点E、F分别在腰AB、CD±,EF〃AD,AE:EB=m:n,求证:(m+n)EF=mBC+nAD□你能由此推岀梯形的屮位线公式吗?对于上述问题,引导学生动手画图,不难推证出结果。只要得证,结合梯形中位线的条件,与这个问题的结论作类比,立即可以得出中位线公式。而这里我并不想马上对此问题作出证明,只想结合三角形中位线、梯形的中位线谈一谈此题在解题教学中给予的启不。启示一:挖掘典型题例的潜在功能,促学生创新思维的再培养。典型题例Z所以受到教辅资料•及课木编者的青睐
2、,很简单的一个理就是功能潜在、余味无穷、意义深远。当然,编者采用这样的题例,述考虑到它的延伸性,对后继学习有一定的辅助作用,可以促进学生创新思维的培养和发展。作为教者,引导学生结合三角形中位线定理和梯形中位线定理的内容,让其进行探究,认清了问题的本质,就不难找到解决问题的办法。启示二利用课本知识的衔接点,培养学生的探究意识。基于上述问题,在学完了初二《几何》第四章及学了初二《几何》第五章的《平行线分线段成比例》后,在适当时机,利用课堂上学生求知心切和思维活性高的时机,在“最近发展区”里,老师可把上述问题设置成一个探索题(结论
3、不明确给予),只作适当的引导、点拨,让学生利用所学知识推证EF、BC、AD三者之间的关系。进而让学生口主学习,积极主动求得口身的发展。接下来的工作就是让学生对已经所学知识作一个回顾、反思。而回顾、反思的过程实际上是思维过程的再现,这是有助于学生探究意识的提高。启示三认清问题的木质,正确运用结论解题。既然要利用结论解题,那么结论性的东西得去背,去记也是情理之事。当然,为了重现思维的过程,不妨把这个问题在此作一证明。已知:如图证法一:如图(1)连结AC交EF于G。・.・AD〃BC,AD〃EF,AE:EB=m:n・・・EG〃BC,
4、FG〃AD,DF:FC=m:nAAE:AB=EG:BC,FG:AD=FC:CD/.EG:BC=m:(m+n)FG:AD=n:(m+n)•mBC—nAD••EG—,FG-m+nm+n又EF=EG+FG•__mBCnADmBC+nAD■・EF二1=m+nm+〃m+n证法二如图(2)过A点作AG//DC,交EF于H。•・・BC〃AD〃EF,AG〃DC.AD=HF=GC・・・EH〃BG,乂AE:BE=m:n/.EH:BG=AE:AB=m:(m+n)•EF=EH+FH=+BG+HFmBC+nADm+nXBG=BC-GC=BC-AD
5、,HF=AD•••(m+n)EF=m(BC-AD)+(m+n)AD=mBC+nAD,即EF=当EF为梯形的屮位线吋,AE:EB=1:1,即El,得EF二竺严证完之后,不妨冋过头来想一想,比较一下梯形中位线与此问题是否存在内在联系呢?比较发现:梯形小位线公式实际上是这个问题的特殊情形。如果将此问题视作梯形中位线定理的推广口J*以加以运用的话,那么它的结论在解决冇关竞赛题时冇很好的用途。下面有一题可以直接利用上述结论解答。如图,梯形ABCD中,AB〃EF〃CD,且CF1——,AB=a,DC=b,则EF二()FB3A、a+b“a+
6、bB、24C、3a+b4当然,对上题的解答必须注意把问题的背景弄清,方可利用结论解乙否则将功亏一畫,导致选中错课选项。练习(1)如图(a)AD〃EF〃BC,且AE=2EB,AD=3BC=10,则EF=练习(2)如图(b)AD〃EF〃BC,若AE:BE=m:n,则EF、BC、AD乂有何关系?启示四:通过类比提问,暴露学生的思维过程。上面两个练习是否都能用证明过的结论呢?答案是否定的,练习(1)可以,而练习(2)则不能。为什么呢?这吋学生已暴霜出问题來,得及吋加以引导,修正匕述结论。认真仔细地斟酌分析图(1)、图(b)可以发现两
7、者Z间的联系。图(b)实际上是一种被扭曲了的梯形,即可称Z为广义的梯形。既然谈到冇联系,那么图(1)与图(b)的结论必将存在一定的差异。这个差异在什么地方呢?事实上过A点作AH〃DC,交BC的延长线于H,延长EF交AH于G,即可得以解决,EF、AD、BC的关系为EF二巴竺二^2。如果继续将图(1)与图(b)涉及的问题加以类比,在教师的引导点拨下,学生的动手操作中,师生互动合作,生生互动合作的参与、修止。可以将图(1)与图(b)涉及的三者的关系融合成一个式子EF=阪土,结合图形,正确理解“士”的意义,m+n在今后碰到类似的问题
8、是不难解决的,同时,对学牛的解题思维的训练和老师的教学是大冇裨益的。料:(1)刘锐诚主编,数学(初二),人民口报出版社。(2)吴效锋主编,新课程怎样教,沈阳出版社。(3)滕发祥编,数学解题教学论,四川教育出版社。发散思维训练的又一途径——一题多解永川区第六中学校潘祥万在课堂解题教学屮,主要