一道高考试题的多角度思考及教学启示

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1、一道高考试题的多角度思考及教学启示浙江省桐乡市高级中学倪树平3145002009年浙江省高考理科第9题:过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若,则双曲线的离心率是()A.B.C.D.本题较好地关注解析几何的本质，很好地体现了坐标法的思想，主要考查了双曲线的有关几何性质，即渐近线，离心率，顶点等，同时又考查了已知两直线求交点，以及向量的坐标表示等问题，考查解析几何的基本思想方法和运算求解的能力，体现了数学知识交汇处命题的特色，解题入口宽，方法多，是考查学生

2、灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力的一道好题，具有较高的研究价值。本文就此题的多角度思考谈几点教学启示。1试题的多角度思考本题是选择题倒数第2题，属于中档题，学生失分的主要原因是：一是缺乏必要的运算能力，运算出错，半途而废；二是缺乏必要的合理转化能力，不知道如何将复杂问题转化为简单问题求解；三是缺乏对解析几何本质的理解。其实从题中抓住核心的信息是①过A的直线斜率为-1；②.因此在解题时牢牢抓住这两个数量关系，目标是建立a,b,c的数量关系，可以通过求B，C的坐标联系平面几何知识，或运用解三角形知识

3、直接在三角形中建立数量关系，从而产生了不同的解题思路。思路1利用过A斜率为-1的直线与两条渐近线相交，求出交点B，C，再利用向量的坐标运算，求出a与b的关系，从而求得离心率.ABCOxy因为直线AC的方程为，渐近线OB，OC的方程为，，联立方程组得，联立方程组得，，，，即，，，故双曲线的离心率是.思路2精品教育文档由于解析几何的本质是利用代数的方法来研究平面几何问题，因此，解析几何的问题能否用平面几何的知识来解决呢？回答当然是肯定的，如本题辅之用平面几何的知识去解决，那就大大减少运算量，提高解题的速度

4、。同思路1求出B，C两点的坐标，，，由题意知B,C两点在x轴的上方,,由相似三角形知识可知:,即,,下同思路1.思路3由于求离心率的本质是求a，b，c三者的关系，如果还是沿着上述思路求B，C坐标的话，因题目给出的是解析几何和向量的综合问题，那么，可以从向量入手进行运算，从而求出B，C的坐标.ABCOxyM因渐近线OB，OC的方程为，，设，，，，，，解得，即，过C作x轴的垂线，垂足为M，直线AC的斜率为-1，则ΔAMC为等腰直角三角形，

5、MC

6、=

7、AM

8、，即,下同思路1.思路4由于本题的条件也可看成是三

9、角形中的数量关系即，又因直线的斜率与三角函数紧密相连，因此，也可以通过解三角形的方法建立a，b的数量关系.ABCOxyN设直线AC与y轴相交于N，，，则，，，，，在ΔAOB和ΔBOC中，由正弦定理可知：，，，，，即，得,下同思路1.精品教育文档2试题给我们的教学启示2．1注重通性通法，淡化特殊技巧高中数学新课程理念告诉我们：要与时俱进地认识“双基”。我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，随着时代的发展，数学课程设置和实施应重新审

10、视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。高考试题也正是体现这一基本理念，试题是侧重于能力立意，注重对基础知识、基本技能和基本数学能力的考查。因此，我们在教学中要注重通性通法，淡化特殊技巧，力求让学生熟练掌握解决数学问题的常规方法。思路1看似计算复杂，但在考试中可能是最容易想到的很自然的思路，同时，我们看到此解法也恰恰体现了高考对数学基础知识、数学基本思想方法和运算求解能力的考查。因此，我们不能借口高考是考能力而忽视基础知识、基本技能和基本数学思想方法。特别是在高三复习阶段，要

11、着力提升学生对数学基础知识、基本数学概念、基本技能和基本数学思想方法的应用能力，通过典型例习题和历年经典高考试题的讲评与训练，让学生充分体会其中蕴涵的数学思想方法，熟练掌握解决一些常规数学问题的通性通法，才能在高考中立于不败之地。2．2强调数学本质，提高应变能力高考重视对数学能力的考查，强调“能力立意”，就是以问题为载体，以知识为基础，以思维为主线，以能力为目标，全面考查学生进一步学习的潜能。因此，高考试题必然会考查数学本质和学生的理性思维。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是我们不能只

12、限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。此题如果学生能清晰地理解解析几何的本质，那么思路2也显得很自然，这样大大减少了运算量。2004年上海高考曾考过这样一题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是___________。结果有不少学生不知道答什么。说明学生平时只知道埋头做题，而缺少对数学本质的反思，有的教师在平时教学中忽视强调数学本质，结果学生云里雾里，失掉了基本分。