一道高考试题的发散性思维训练及教学思考

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1、S3（12091010）·中数高中第11期发稿·杜安利播胧藏苑陶屯瑜逗较陪一道高考试题的发散性思维训练及教学思考马兴奎（云南省昭通市实验中学）题目：已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为（）。（A）（B）（C）（D）这是2008年高考数学重庆卷理科第4题，本题简明扼要，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解函数最值（或值域）的方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。笔者以此题为载体，引导学生进行了一次发散性思维训练，并引发了几点思考，现记录下来与同行交流。一、问题解决为节省篇幅，略去课堂实录。在课堂上，通过教师的点拨和引

2、导，学生集思广益、合作交流、积极探究，动态生成了以下十种解法，达到了一题多解的目的。解法1：因为已知函数的定义域为，所以。令，得。x-3（-3，-1）-1（-1，1）1+0-y2增函数减函数2由此可以看出，，得.故答案选C。解法2：由题设知。设，，则设，，其中，则。因为，所以，即。6傀黝辱灯司朗醋笨卸苹磋遴磊犊疾葵赌曝决刀S3（12091010）·中数高中第11期发稿·杜安利播胧藏苑陶屯瑜逗较陪故。于是，，得.故答案选C。解法3：同解法2得在平面直角坐标系中，作出圆弧和O词恁敞萆蹦阳瀚贪深桶未凫痞裸鳔钓墉甘盎锿疾夥崩扮铷魅胺鎏恸壕杉溃谁椿磺槿腴壕缒熳2

3、锐喃鲷婪麾颀灯耿它埭2丁氅犬帆孤镰风饔胬栅饵鳙芭沂蹲卤谁赖盲卯直线，如图1所示。从图象可以看出，，于是。故答案选C。解法4：由已知得，所以，，于是当时，，当或时，，所以。故答案选C。解法5：因为，，所以应用基本不等式的变形，即，所以，当且仅当，即时取等号。同时注意到（或时取等号），，所以，于是，，得。故答案选C。6傀黝辱灯司朗醋笨卸苹磋遴磊犊疾葵赌曝决刀S3（12091010）·中数高中第11期发稿·杜安利播胧藏苑陶屯瑜逗较陪解法6：构造向量，，则，，，又因为，所以，当且仅当与同向时，即，也即时取等号，所以，即。又，O鹌概诡钚桤颓耄乒缡俗x嗯艘佳枇路砰

4、猗剂俗唢y鲅镍七苇介或堵跎脶堑A洼稀瀚舁倪溯帕钭琛鹑P扒吡飞诖呓夂孬圃圪咚利仃血肠阒窜康犬孜搅B窳柚堞朐濞蘩擂瑚堞杵C钳搬鹩饮拴钬三兽咂愦注意到函数的定义域为，动点在圆第一象限的弧上运动，如图2所示，点A为定点，所以当，即点P与B或C重合时，即或时，，即，故，所以答案应选C。解法7：由平方反解得，因为，所以，当或时左边等号成立；当，即时右边等号成立，于是，所以。注意到，所以，于是，，得。故答案选C。解法8：因为，故两边平方化为，再平方得。令，6傀黝辱灯司朗醋笨卸苹磋遴磊犊疾葵赌曝决刀S3（12091010）·中数高中第11期发稿·杜安利播胧藏苑陶屯瑜逗

5、较陪因为，所以方程在上有实数解的充要条件是，即。又因为，所以，即，所以，所以，于是，，得。故答案选C。解法9：因为，所以y与y2的单调性相同，而在上递增，在上递减，从而在上递增，在上递减，故当时，，当或时，，于是。故答案选C。解法10：如图3所示，作以AB=2为直径的半圆，在半圆上任取一点C，设，A投堑涧值荑赢驽该迷虎B矍疏蜀瓜删础樨墉忿圄C拷汊凼相御苯郗歉悠杠姻杆单柑刚诨成岭完欠晦脸嘧败劳视鳞农史抠灿沈撷阒阎瞽娩稽楝炔则，于是，显然y随点C的移动而变化，当C在点A或点B时，，当C位于圆弧中点时，即，，于是，，得。故答案选C。二、解法探讨解法1的思路是

6、导数法。闭区间上的连续函数有最大值也有最小值，可利用导数的性质求出函数的最值,进而求得函数的值域。一般地，当函数较为复杂而使用其他方法未能奏效或无从入手时，我们往往可以使用导数法来进行求解。解法2的思路是换元法。通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式。通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解。可以达到化繁为简、化难为易的目的，但要关注新元范围和注意换元前后的等价性。解法3的思路是数形结合法。6傀黝辱灯司朗醋笨卸苹磋遴磊犊疾葵

7、赌曝决刀S3（12091010）·中数高中第11期发稿·杜安利播胧藏苑陶屯瑜逗较陪通过联想，构造几何模型，以形助数，探求问题的简捷解法。对于形如的最值问题，我们一般可以转化为动直线的斜率问题；对于形如f(x,y)=ax+by+c的最值问题，我们一般可以转化为动直线的截距问题；对于形如f(x,y)=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，我们一般可以转化为动点到定点的距离问题。数形结合法是中学数学中一种重要的思想方法，教学中培养学生要养成见数想形的好习惯，借助形象思维认识处理问题。解法4的思路是配方法。对于求二次函数y=ax2+by+c(a≠0)或可转化为

8、形如f(x)=的函数的值域（或最值）之类的问题，我们常常可以通过配方法来进行求解，但要注意g(