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《2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用313导数的几何意义教学案新人教b版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.3导数的几何意义［学习目标］1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率Z间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的儿何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.戸预习导学聾挑战自我，点点落实［知识链接］如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是导数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的儿何意义呢?AAb））与点〃（Ab+AX,f（xo+A方）的一条割线，此割线的斜率是AyfAb+Ax—fxo*当点〃沿曲线趋近于点/时，割线〃〃绕点/转动，它的极限位置为直线这
2、条直线力〃叫做此曲线在点M处的切线.于是，当A/-0时，割线力的斜率无限趋近于过点/的切线月〃的斜率即k=f（必）=1im-_.AlOAX［预习导引］导数的儿何意义函数y=f{^在点心处的导数的几何意义是曲线y=f^在点P5/U））处的切线的魁率.也就是说,曲线Kx）在点"仏，代心））处的切线的斜率是尸（及）・相应地,切线方程为y—f（xo）=r（心）（/—折）.戸课堂讲义W重点难点，个个击破要点一已知过曲线上一点求切线方程例1若曲线y=x+?>ax在某点处的切线方程为y=3/+l,求曰的值.解y=x+3ax..x+Ax"+3$x+Ax—x—^ax
3、…3/Ax+3xx2+Ax‘+3日—1imAa—0x=liin[3,+3^rAx+(Ax)"+3日]=3/+3a.Ax-*O设曲线与直线相切的切点为戶(心，必)，3怎+3日=3,结合己知条件，得§_亠
4、AoI3日Ab—yo—3zVoI19c解得V规律方法一般地，设曲线C是函数y=f(x)的图象，戶(血如是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k=lim严口/W7加，继而由点与斜率可得点斜式方程,a.t-oAxalOAx化简得切线方程.跟踪演练1求曲线y=£在点(2,处的切线方程.11厶f2+——f22+Ax_2解因为aWoZ7=A】®0忑~=曲°22
5、^1=V所以这条曲线在点(2'f)处的切线斜率为一£由直线的点斜式方程可得切线方程为y-
6、=-^(%-2),即卄4尸一4=0.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线尸2#—7,求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4^-y-2=0?(2)曲线过点"(3,9)的切线方程.鈕，Ay[2卄“J]—2Y-7解y=1^=1^d巳辄(4x+2Ax)=4x.(1)设切点为(/,口)，则4%o=4,飾=1,/=—5,・•・切点坐标为(1,-5).(2)由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为水丽如，贝I」切线的斜率£=伽，故所求的切线方程为y—必=4x
7、°(x—心).将戶(3,9)及必=2并一7代入上式，得9—(2左一7)=4%o(3—Ao).解得xo=2或从=4,所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8/—y—15=0或16x—y—39=0.规律方法若题中所给点(心，必)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪演练2求过点水2,0)且与曲线尸+相切的直线方程.易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为/<%,必)，由11Xo+AxXo才=&=Al>0—心—=1得所求直线方程为y—Ad—心).Ao由点(2,0)在直线上，得并丹
8、=2—/(>,再由Pg,/))在曲线上，得&刃>=1,联立可解得%o=l,jo=l,所求直线方程为x+y—2=0.要点三求切点坐标例3在曲线上过哪一点的切线，(1)平行于直线y=4x—5；(2)垂直于直线2/—6y+5=0；(3)倾斜角为135°・,”p/、fx+Ax—fx解ta)=a^orr=AWo'x+AX'—/c7、口+;=2x,设戸(疋，旳)是7两足条件的点.(1)因为切线与直线7=4a~5平行,所以2y=4,心=2,必=4,即戶(2,4)是满足条件的点.⑵因为切线与直线2/—6尸+5=0垂直,139所以2折.§=一1，得池=_丁必=?即是
9、满足条件的点.(3)因为切线的倾斜角为135°,所以其斜率为一1•即2丛=一1,猖11得必=_必=7,即/〔一刁寸是满足条件的点.规律方法解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.跟踪演练3已知抛物线y=2#+l,求：(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4^-y-2=0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线丸+8y—3=0?解设点的坐标为(心，如，则Ay=2(Ao+Ax)2+1—2Ab—1=4ao•Ajr+2(
10、A2.Ay.9.—^=4x(>+2Ax.AxAvlim—^=lim(4必+2△x)=4必，Ax-0△XXlO即尸(心)=4
