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《2018版高中数学人教b版选修1-1学案313 导数的几何意义.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.3导数的几何意义［学习目标］1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系2理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3•会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.戸预习导学全挑战自我，点点落实［知识链接］如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是导数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢?答：设函数）=/（兀）的图象如图所示，AB是过点Afro—心）））与点B（x0+Ax,y（Xo+Ax））的一条割线，此割线的斜率是Ay问+从）—心）Ax当点3沿曲线趋近于点A时，割线仙
2、绕点A转动，它的极限位置为直线AD这条直线AD叫做此曲线在点4处的切线.于是，当心一0时，割线A3的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k,即k=f佝尸H>o+Av)-./Uo)lOZAa［预习导引］导数的几何意义函数）=心）在点兀。处的导数的几何意义是曲线y=Ax）在点卩（兀），ZU）））处的切线的斜率.也就是说，曲线）=心）在点P（m，/（xo））处的切线的斜率是f（也）.相应地,切线方程为y—兀切）=f（冋）（兀一也）•戸课堂讲义/直点难点，个个击破要点一已知过曲线上一点求切线方程例1若曲线y=.x+3cix在某点处的切线方程为y=3x+l,求。的值.解y
3、=x+3ax.In(x+Ax)*+3d(x+Ax)—x"—3orAa3^2Ax+3x(Ax)，+(Ary+3ax=lim;woAx=lim[3X2+3xAx+(Ax)2+3a]=3x+3a设曲线与直线相切的切点为戶（无0,）b），结合已知条件,3总+3°=3,-Vo4~3。兀o=y()=3兀()+1,解得＜规律方法一般地，设曲线C是函数y=Kx）的图象，P（e旳）是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k=liAy/Oo+Ax)—心)),继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪演练1求曲线y=+在点（2,处的切线方程.因为少件*=肿。宅2可得切线方程为），
4、一*=一扌（兀一2）,即x+4y—4=0.处的切线斜率为一扌，由直线的点斜式方程要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线），=2?-7,求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0?（2）曲线过点P（3,9）的切线方程.lim¥=lim[2(兀+心)2_7]_(2/_7)Ax=lim(4x+2Ax)=4兀0（1）设切点为（％,y（）），则4x（）=4,x（）=l,）b=—5,・・・切点坐标为（1,-5）.（2）由于点P（3,9）不在曲线上.设所求切线的切点为A（x0,为），则切线的斜率R=4x。，故所求的切线方程为），一刃=4也（兀一兀0）・将P（3,
5、9）及刃=2怎一7代入上式，得9—（2Aq—7）=4兀（）（3—兀（））•解得x0=2或兀o=4,所以切点为(2,1)或(4,25).从而所求切线方程为8x—y—15=0或16x—y—39=0.规律方法若题中所给点(％,力)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线)=£相切的直线方程.解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P3)，为)，由1,..xo+Ax.切1y*=也=肿0忑=_子得所求直线方程为y~yo=—A(x—xo).人0由点(2,0)在直线上，得x6yo=2—.
6、切，再由P(xq9yo)在曲线上，得Xo)，o=1,联立可解得X。=1,)，o=1，所求直线方程为x+y—2=0.要点三求切点坐标例3在曲线〉，=＜上过哪一点的切线，(1)平行于直线y=4x—5；(2)垂直于直线2x—6y+5=0；(3)倾斜角为135°.解f(兀尸应^+靛—叫脚”+叮—〜比设Pg为)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y=4兀一5平行，所以2xo=4,应)=2,)7)=4,即P(2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x~6y+5=0垂直，139所以2尤0•亍=一1,得兀0=—2＞沖=才，即彳—寺吟)是满足条件的点.(3)因为切线的倾斜角为
7、135。，所以其斜率为一1.即2兀。=—1,H11得应=_刁yo=4＞即右£是满足条件的点.规律方法解答此类题目时，所给直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题吋要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.跟踪演练3已知抛物线y=2.『+1,求：(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4兀一〉，一2=0?⑵抛物线上哪一点的切线垂直于直线x+8y-3=0?解设点的坐标为(xo，)；o),则△y=2(Xq+Ax)2+1——1=4x°-Ax+2(A.r)2.■Ae••△t—I2A%・•Ay慣広产舰(
8、4兀o+2
