三角形与一点(六条线段关系)

《三角形与一点(六条线段关系)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、三角形与一点，六条线段：讨论三角形内部或外部有一点，所有六条线段之间的关系。AcdbDefBaC已知三角形ABC，内部有一点D，连接AD、BD、CD。那么这六条线段之间存在一个关系式。设a＝BC2,b＝CA2,c＝AB2,d＝AD2,e＝BD2,f＝CD2.那么：ad(b+e+c+f-a-d)+be(a+d+c+f-b-e)+cf(a+d+b+e-c-f)等于：abc+aef+bdf+cde点D在三角形ABC的外部时，上述等式仍然成立。（下面的图形：）AdcDfeBbaC记忆方法：等式中共有a、b、c、d、e、f六个字母；等式左边有三组（加法）式：“a组”、“b组”

2、、“c组”。其中a与d“结合”，b与e“结合”，c与f“结合”；每个括号里面都有a、b、c、d、e、f六个字母；以ad开头的，括号里面字母就是-a、-d；以be开头的，括号里面字母就是-b、-e；以cf开头的，括号里面字母就是-c、-f；等式右边有四项：可以看成四个三角形：三角形abc、三角形aef、三角形bdf、三角形cde.值得注意的是，a、b、c、d、e、f这六个小写字母并不是线段的长，而是代表线段的长的平方。应用：已知五条线段的长，可以求出第六条线段的长。先求出五条线段的长的平方，以a、b、c、d、e代入等式，会得到一个关于f的一元二次方程，f有两个解。（点

3、D在三角形ABC的内部或外部）或者说点D在线段AB的两侧。最后把f开平方。得到第六条线段的长。上面的等式具有一般意义：平面上有A、B、C、D四个点，其中每两个点都连结线段。（注：其中所有线段的“地位”都是“完全平等”的，同时它们之间也是有联系、有结构的）设a＝BC2,b＝CA2,c＝AB2,d＝AD2,e＝BD2,f＝CD2.那么：ad(b+e+c+f-a-d)+be(a+d+c+f-b-e)+cf(a+d+b+e-c-f)等于：abc+aef+bdf+cde或者写成：(a+d)(be+cf-ad)+(b+e)(ad+cf-be)+(c+f)(ad+be-cf)等于

4、：abc+aef+bdf+cde（同样的，a、b、c、d、e、f这六个代数的“地位”也是“完全平等”的）证明过程：我是这样证明的：先求出（虚线）三角形的两条直角边的长；然后根据勾股定理，两个直角边的平方和等于斜边的平方。再将等式整理、化简。