基于域分解法的有限元数值计算

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1、j42咀科学发晨观促进科技创新(中)2基于有限元仿真的东风11型救援小车支撑块结构优化、新疆犬肇学报，2005·22作者简介古丽巴晗尔-托乎提，电话：0991—8166ta23：0991—4556129；E—mail：tu[unay@cb．ina基于域分解法的有限元数值计算艾尔肯·亥木都拉1买买提明-艾尼2新疆大学机械工程学院，乌鲁术齐，830008摘要本论文描述了在微机并行计算机群上用域分解法对大规模5-程问题进行有限元并行分析的方法。为了节省内存和计算时问，开发的系统使用了动态栽荷配平和等级分布式数据管理技术。本系统对120万自由度以上的切口拉彳申模型顺利地应用并进行了有效的静态弹性

2、应力分析。关键词有限元并行计算域分解法檄机并行群引言绝大多数工程问题具有几何形状不连续、物理量不连续、边界条件不连续等特点。这对求解工程问题带来很大的难度。为了求懈以上不连续问题，工程技术人员往往采取近似化的方法。近似求解工程问题常有两种方法。～种是把不连续的工程问题假设为连续。这种方法把实际工程问题简化，删除并引入必要的假设条件才能得到理想的物理数学模型并求解工程闽题。为此基于这种理想静物理数学方法的工程求解，即使表面上看起来应用了理论数学模型并求解问题也理论解，但是它只不过是在以上假设条件下的一个理论解，与实际工程问题的差距相当大。第二种方法是，对不连续的实际工程问题进行离散化求解。

3、基于这种方法的工程问题的求解精度依赖于问题的离散化程度。离散得越细越接近于实际解(边界条件相同时)，也越接近于理论解(假设条件相同时)。随着计算科学和计算机性能的提高，人们普遍开始用第二种方法离散数学来求解工程问题。有限元法是在各种工程领域里应用很广的一种离散化方法之一。但是，日益增加的计算机模拟问题的复杂程度和规模，对计算机的能力和内存也要求相当商。而用单个微机处理机来求饵以上大规模工程向题还受到计算机自身的限制。为了节省计算时间和内存，已可以应用众所周知的并行计算机。特别是多种指令多种数据的(MultipleInstructionMultipleData)MIMD型的计算站群为工程人

4、员带来了很大的希望。目前这种M1MD型并行计算机原理扩展到微机群上实现了高效率的计算。MIMD型并行计算机是具有局部内存的许多处理机组成并通过任务分布给各处理机来减少计算时间的。但是，应用这种高性能并行计算机必须需要一种特殊的计算算法。为了使用MIMD型计算机达到高性能并行计算算法，大粒度作业和载萄的均配是关键。这里的粒度是指各处理器之间没有任何数据通讯的条件下单个处理器上所能运行的运算量。许多学者对大规模有限元分析和研究提出了各种各样的并行计算算法。其中大部分采用了元素分解法、行列分解法、域分解法，或他们的组合。但是，他们所得的结果一般都是小粒度。现在比较好的方法是共轭梯度法(Conj

5、ugateGradient，简称CC；法)和域分锵法DDM(domainde—第9分会场落实科学发展观．振兴装备制造业J4jcon，Dositi01,1tTleth。d)结合在一起作为一种并行数值计算算法。在这种方法里将一个整体域虚拟地分为儿个无重叠的子域。然后用有限元分析并行地进行在每个子域上并要满足位移连续性和力的平衡条件。这种位移连续性和力的平衡条件是用迭代计算来满足，比如用共轭梯度法(CG)。本研究把以上并行计算算法应用在微机群上，实现了并行计算环境，同时应用在大规模有限元分析上，只用3台微机群(P3，lGHz，512MB)完成了120万自由度的静态弹性工程问题的有限元计算。一、

6、域分解法用拉格朗日乘子(LagrangeMultiplies)的基本方程为了毹释域分解法的理论，我们考虑图1表示的域为固体的弹性问题。图中亍．为作用在边界r，上的外力(牵力tractionforce)，巨为作用在域n上的体积力，；。为在边界：上的强制位移。√圈1分析域图2分析域分解成于域在微小位移状态F的弹性问题的基本方程为：￡u2寺(“。+“。)inn(1)du2C。，。e。。imO(2)。¨+蟊，=0inI'2(3)％q—E=0on／"1(4)“。2qonU。(5)式中：i和j取l，2，3；“。为位移矢量；e。为应变张量；口。为应力张量；C⋯为虎克定律中的系数张量；w，为在边界n上的

7、外法线矢量；()，J表示对z．的一阶导数。以上变量形式，通过寻找位移函数蜥进行最小化问题的以下能量方程的驻点：八∞=ll。aqg,jdO-乒M枷一{I，u，订ca，根据图2表示很明显，对n域分解成M个子域后，以上问题的求解变为各子域为(力‘。’)，≤。≤。．并子域n‘’’和n‘”’2_IM的边界为y如的问题。求解以上问题就等于通过寻找位移函数。川’进行求解以下能量方程的驻点问题：J7(u⋯，⋯，u‘“’)=J‘‘’(u⋯)+J‘2’