第7章-1 基于数值积分的解法

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1、常微分方程的数值解法第7章考虑常微分方程的初值问题(7-1)(7-2)则（7-1）的解存在且唯一。或与其等价的积分方程若f(t,u)关于u满足Lipschitz条件，即存在常数L，对任意t∈[a,b],均有它是一种离散化方法，利用这种方法，可以在一系列事先求出其上的未知函数u(t)之值的近似值:而u1,u2,…,uN称为初值问题的数值解。在本章中，我们将分别基于数值积分公式和Taylor公式，建立求解（7-1）或（7-2）的数值方法。什么是数值解？取定的[a,b]中的离散点（称为节点）:基于数值积分的解法由

2、Newton-Leibniz公式将节点取为（7-3）如果u(tn)的近似值un已经求出，则通过计算(7-3)右端项的数值积分可求出u(tn+1)的近似值un+1令上式称为Euler求解公式，又称矩形公式。一、Euler法首先，对(7-2)右端积分项使用左矩形求积公式，则得用Euler公式计算如下初值问题的解u(t)在t=0.3处的数值解u3。例：（取步长h=0.1,小数点后保留4位）解初值，依次算得首先，对(7-3)右端积分项使用右矩形求积公式，则得令上式称为隐式Euler公式，又称右矩形公式。隐式Eule

3、r法二、梯形法对(7-2)右端的积分使用梯形求积公式计算，则得令上式称为梯形求解公式，简称梯形法．初值迭代公式为：梯形公式与Euler公式相比要精确，但梯形公式的计算量可用如下迭代公式：每步计算要解一个关于un+1的非线性方程，因此要大一些,，，，若序列收敛于，当时，得到：则取为第个近似值。如此迭代下去得到迭代序列：，，在实际计算中，通常要求满足为终止条件，此时取作为的近似值。为了避免求解非线性代数方程，可以用Euler法将它显化，建立预测——校正系统：此求解公式称为改进的Euler法，其中称为预测值，称为

4、校正值.其求解顺序为：改进的Euler法还可写成如下形式：如果f(t,u)是u的线性函数，则隐式公式可以显式化。例若方程为：隐式Euler公式：，梯形公式：例对于微分方程写出Euler法和梯形法格式．解Euler法格式：梯形法格式：三、Milne公式若使用Simpson求积公式，得令进一步可写成其中此为二步方法，需要已知un和un+1，才能由上式计算出un+2的值。二步以上的方法也称为多步法。定义为求解公式在tn点上的整体截断误差。衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度。定义假设ui=u(ti)，i

5、=0,1,2,…,n-1，则称为求解公式第n步的局部截断误差。如果设某求解公式的局部截断误差：这样我们就称该求解公式具有p阶精度。则我们可以证明其整体截断误差为：利用Taylor展开法可以求Euler法的局部截断误差。Euler法具有一阶精度。