数值方法 第８章 数值积分

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1、第八章数值积分§引言如果的原函数为，那么有注意到，但　无原函数，无法求出。对于～令,称为求积节点，为求积系数§1Newton—Cotes求积公式（I）梯形公式30,称为求的梯形公式当为其变量的连续函数。梯形公式余项，利用积分中值定理定理设上可积，并在[a,b]上不变号，那么存在对于积分余项是的连续函数，在上不变号，因此有=+30（II）Simpson求积公式作二次Lagrange插值有其中此公式称为Simpson求积公式。变号，因此不能直接应用积分中值定理。令；=30令是的连续函数。而即在[a,b]上不变号，由此可利用积分中值定理例应用梯形公式和Simpson公式计算积分解应用梯形

2、公式应用Simpson公式直接计算有例2．用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并讨论误差解计算误差0.01965730计算误差1.69536一般情况估计误差要大于实际计算误差计算误差为(III)代数精度用Simpson公式求的近似值要比梯形公式求的近似值更精确，代数精度在一定程度上刻画了这一特性（*），求积系数，求积节点定义如果求积公式对所有准确成立，即，而对于某个次数为的多项式，有，则称求积公式（*）具有m次代数精度。求积公式（*）对是线性的，即由此可知，所有有等价于存在一个使，等价于，由此引入等价定义。30定义如果则称求积公式（*）至少具有m次代数精度，如果还有，那

3、么称求积公式（*）具有m次代数精度。注意到梯形公式余项当时有求积公式，，所以具有3次代数精度。例确定求积公式中求积系数A，B及节点，使求积公式的代数精度尽可能高。解令2h=A+B三个方程解A，B，，A=，B=当求积公式代数精度为230（IV）Newton-Cotes求积公式将区间[a,b]等分为n份，令此公式称为Newton-Cotes求积公式，称为Cotes求积系数对于给定n，可查表，见P.233表8.1对于,Newton-Cotes求积公式余项由下述定理给出。定理Newton-Cotes求积公式的余项分两种情况若n为偶数，，那么存在30若n为奇数，，那么存在由定理看出，n奇数，

4、求积公式代数精度为n.n偶数，求积公式代数精度为n+1.梯形公式n=1，代数精度为1。Simpson，公式,n=2,代数精度为3。例，已有：梯形公式SimpsonNewton-Cotes实际：同样Newton-Cotes可以看出，30（V）Newton-Cotes求积公式的数值稳定性Newton-Cotes求积公式有令那么有，由此得设无误差，但有误差，,反映在数值积分中令当由此当求积公式数值稳定。当出现负时，将出现数值不稳定，因此求积公式不采用。30§2复合求积公式用梯形公式用Simpson求积公式由此看出，，来计算很不准确，如果要得到很准确的值，必须采用高阶的Newton-Cot

5、es求积公式，但当求积公式数值上不稳定。由此可以看出，不能靠提高阶的方法来提高计算精度。基于上述原因，一般把整个积分区间分成若干个子区间（通常是等分），再在每个子区间上采用低阶求积公式，这种方法称为复合求积方法。（I）复合梯形求积公式将区间[a,b]分为n等分，，在每个子区间[]上采用梯形公式，那么有上述公式称为复合梯形公式令那么（1）讨论（1）的余项30对上式求和有由于利用利用（收敛性）（II）复合Simpson求积公式将区间[a,b]等分为n个子区间，，在每个子区间[]上采用Simpson公式其中上述公式称为复合Simpson30求积公式。令，那么设例若用复合梯形公式求的近似值

6、，问要将积分区间[0，1]分成多少份才能保证计算误差≤？若用复合Simpson求积公式呢？解，复合梯形公式余项若用复合梯形公式求的近似值，需将[0，1]分成41等分才能保证计算结果有4位有效数字。用复合Simpson求积公式30，取，只需要将[0，1]分成2等分例给定积分当要求误差小于10时，用复合梯形求积公式和复合Simpson求积公式计算时所需节点数及步长分别为多少？解设,将区间[1，3]等分为n等分，复合梯形公式要使30取复合Simpson公式取节点§3Romberg求积公式（I）外推技巧复合梯形求积[a,b]分n等分，如果那么若,用来表示30可以看出，这种方法称为“外推技巧

7、”。更一般的有定理定理　设是Q的两个逼近，并有那么　证明　用乘　（２）式的两边，减去（１）式就得到（３）式。此时记　　　　　　　　　30（II）Romberg求积令由外推得T（j,k）。由两个低阶数值积分外推得到高阶数值积分的算法称为Romberg求积公式。①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩具体计算过程将区间分半，对区间作等分，30求得。否则，例，用Romberg积分法求的近似值解j0①1.85914091②1.7539311③1.71886122④1.7272219⑤1.7183