基于蒙特卡洛思想的定积分数值解法

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1、海南大学《数理统计》课程设计题目：基于蒙特卡洛思想的定积分数值解法班级：信息与计算科学姓名：体贴的瑾色学号：指导教师：日期：2017.0612目录基于蒙特卡洛方法的定积分数值解法3摘要3Abstract3一、前言4二、蒙特卡洛求解定积分法42.1随机投点法42.2平均值法62.3两种方法的比较7三、蒙特卡洛计算二重积分8四、结语10参考文献:10附录：MATLAB程序1012基于蒙特卡洛方法的定积分数值解法摘要微积分是现代数学和现代物理的一个重要基础，而定积分在生活生产上也具有十分广泛的应用，然而，定积分的计算特别是涉及到较复杂的定积分的话便变的十分困难.本

2、文介绍了蒙特卡洛方法解决定积分求解的两种思路：随机取点法和平均值法，并给出了用matlab实现两种方法的算法程序，最后用两种方法分别计算了几个实例.关键词：蒙特卡洛定积分matlabAbstractCalculusisanimportantfoundationofmodernmathematicsandmodernphysics,anddefiniteintegralarealsowidelyusedinlifeproduction.However,itisverydifficulttocalculatethedefiniteintegral,especia

3、llywhenitcomestomorecomplex.ThispaperintroducestwomethodsofMonteCarlomethodtosolvedefiniteintegralsolution:randompointmethodandmeanmethod,andgivesthealgorithmtorealizetwomethodsbymatlab.Finally,weusetwomethodstocalculateseveralexamplesrespectively.Keys:MonteCarlodefiniteintegralmat

4、lab12一、前言蒙特卡洛方法（英语：MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法.是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法.蒙特卡洛方法是属于统计实验的一种方法，主要通过统计抽样实验为各种各样的数学问题提供近似解，所以也被称为随机抽样技术.而正是因为蒙特卡洛方法的原理使得这种方法得到的结果基本上都会存在误差，不过可喜的是这种误差随着取的随机数的数量的增大而减小.所以，随着计算机的发展，蒙特卡洛算法的精确度一直在提高.定积分的求

5、解是蒙特卡洛方法解决的最好的问题之一，特别是在涉及到重积分的情况下，这种方法往往是科研工作者比较喜欢的方法之一.二、蒙特卡洛求解定积分法2.1随机投点法伯努利大数定理说明：随着试验次数的增大，事件发生的频率与其频率的偏差大于预定给定的精度的可能性愈来愈小，要多小就多小，这就是说当试验次数足够多的话，频率稳定于概率.所以，随机投点法的方法的原理就是重复进行大量实验，然后用观测到的频率代替概率作为所求结果.比如求定积分，其中，可设二维随机变量服从正方形上的均匀分布，则可知服从上的均匀分布，也服从上的均匀分布且和相互独立，又记事件则的概率为我们只需要找到事件出现的

6、频率即可，即将看成是向正方形内的随机投的点，用随机点在区域中的频率作为定积分的12值.算法流程是：(1).先用计算机产生上均匀分布的个随机数，组成对随机数其中应该足够大.(2).对这对随机数记录满足的次数，由此可得到事件发生的频率，则.注意对于一般区间上的定积分，其中为可积函数，文献[1]给出一种解法是做线性变换将转换成的形式.本文给出另外一种算法来计算，我们知道一重定积分的几何意义是求曲线和坐标轴所包围的面积，但是这里面临一个问题就是包围的面积可负可正，另外此时的总区域面积也不再是1，所以如果按照上述流程(2)显然会出现问题，所以，本文对(2)进行改良后的

7、新的第二步是：(2)’记，记录满足出现的次数，和满足的次数，算得新的频率为.若，则，或者则或者，则.最后得到.譬如计算,其精确值由matlab函数integral给出（下同），取，运行100次后得到的结果为模拟后得到的值的分析为（误差计算公式为,下同）：方法平均值方差误差精确解随机投点法0.650153.733E-043.830E-040.6498412当时的投点图为2.2平均值法计算定积分，其中可积.设随机变量服从上的均匀分布，则的数学期望为所以估计期望就是估计所求值，由辛钦大数定理，可以用观察值的平均去估计的期望值.具体做法如下：先用计算机产生个在上均匀

8、分布的随机数，然后对每个计算，最后得到的估计值为.至