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1、第24卷第6期四川理工学院学报(自然科学版)Vol.24No.62011年12月JournalofSichuanUniversityofScience&Engineering(NaturalScienceEdition)Dec.2011文章编号:1673-1549(2011)06-0715-04赌博的
2、鞅论模型及随机模拟112魏艳华,王丙参,李艳颖(1.天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;2.宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013)摘要:赌博是一种重要的社会现象,对其定性研究很多,但关于运用数学模型进行定量研究的文献并不多。鉴于此,运用概率论及鞅论建立了赌博模型,探讨了破产概率、赌博策略及赌博停止次数。最后给出了Matlab编制的随机模拟程序,并依据数值模拟结果对赌博策略提出了几点指导意见。关键词:赌博模型;鞅论;随机模拟中图分类号:O211.9文献标识码:Aq引言令q=1-p,c=a+b,β=,则甲恰好a+2i局输光p近几十年
3、来,鞅论不仅在随机过程及其它数学分支的概率是aCipiqa+i,甲输光的概率a+2ia+2i中占据了重要的地位,而且在实际问题诸如金融、保险b1及可靠性理论上也得到了广泛的应用,如在风险模型a+b,p=q=2[1-3]Pa=中,利用鞅论求解破产概率是非常简洁的。赌博是bacac{pq-qβ-βq=,p≠ccc人类的第二大天性,自古至今一直活跃在人们的生活p-q1-β中,并对社会、经济、政治、文化等方面产生了各种各样乙输光的概率为1-Pa。的影响,然而实际中的各种赌博胜负都带有极大的偶证明令A="恰好赌a+2i局输光",Bk="a+2i[4-5]然
4、性。本文运用鞅论建立了赌博模型,探讨了破产局中赢k局",k=0,1,…,由全概率公式可得概率、赌博策略及赌博停止次数,最后运用Matlab软件∞P(A)=∑P(A
5、Bk)P(Bk)=P(A
6、Bi)P(Bi)=进行了随机模拟。k=0iia+iaiia+iPCpq=Cpq1赌博模型a+i,ia+2ia+2ia+2i[6-7]令X表示赌了n局后甲手中的赌金,则{X,n≥引理1.1若在一次选举中,候选人A得到n张nn选票而候选人B得到m张选票且n>m,假定选票的一0}是一个齐次马尔科夫链(MC),状态空间E={0,1,切排列次序是等可能的,则在计票过程中
7、,A的票数始…,c},状态0,c为吸收态,其一步转移概率为(n-m)终领先的概率Pn,m=。p,j=i+1(n+m)pij=q,j=i-1,0<i<c,p00=pcc=1定理1.1若赌徒甲开始有a元,乙有b元,在每次{0,其他赌局中甲以概率p赢得乙一元,且各局赌博结果相互独立没有和局,赌博一直进行到有一个人全部输光为止,设Pi表示甲从状态i出发到破产的概率,显然有P0=收稿日期:2011-10-08基金项目:甘肃省自然科学研究基金计划(096RJZE106);甘肃省教育厅项目(0908-07)作者简介:魏艳华(1978-),女,吉林四平人,讲师
8、,硕士,主要从事随机过程及金融数学方面的研究,(E-mail)wei5yan6hua7@126.com716四川理工学院学报(自然科学版)2011年12月1,P=0,1≤i≤c-1,由全概率公式可得c2赌博的鞅论模型Pi=pPi+1+qPi-1Pi+1-Pi=β(Pi-Pi-1)[1]定理2.1设{Mn,Fn=σ(X0,…,Xn),n≥0}为故有P-P=βi(P-P)鞅,T是停时且满足P(T<∞)=1,E(
9、MT
10、)<∞,i+1i10limE(
11、M
12、I)=0,则EM=EM。将上式连加可得n→∞n{T>n}T0c-1[1]P-P=(P-P)k,
13、0≤i≤c定理2.2设{Mn}是关于{Fn}的鞅,若一ci10∑βk=i个非负r.vY满足EY<∞且对n成立
14、Mn
15、<Y,则1(c-i)(1-P),p=q=12{M}是一致可积鞅。nP=i{βi-βc[1](1-P),p≠q定理2.3设{Mn,Fn=σ(X0,…,Xn),n≥0}为11-β一致可积鞅,T是停时且满足P(T<∞)=1,E(
16、MT令i=1可得
17、)<∞,则EM=EM。T0111-,p=q=c2每个赌博者自然都对使得他在一系列赌博后获得P=1{β-βcq期望收益最大化的策略感兴趣。若一个赌博者正在进,p≠c1-β行一系列的赌博,每次
18、赌博赢的概率是p,令{Yn,n≥将P1代入上式得:1}是一列独立同分布(i.i.d)的随机变量(r.v),表示(c-i),p=q每次赌博
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