随机过程--鞅

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1、第十章随机过程II：鞅1第十章随机过程II：鞅基础微积分线性代数概率论和数理统计随机微积分鞅偏微分方程数值方法10．1概述10．3．2多布-迈耶定理10．1．1离散时间10．3．3二次变差过程10．1．2连续时间10．4再论随机积分10．1．3鞅的例子10．4．1鞅变换和随机积分10．1．4鞅的子类10．4．2简单过程随机积分10．2停时和鞅型序列10．4．3再论伊藤积分10．2．1停时定义10．5测度变换10．2．2最优停止定理10．5．1直观理解10．2．3鞅型序列10．5．2拉登-尼科迪姆导数10．3多布-迈耶分解10．5．3哥萨诺夫定理10．3．1

2、多布分解定理10．5．4鞅表示定理本章的学习目标为：µ了解信息结构和信息一致性的数学表述方式µ明确鞅的定义和连续时间情形下的一些技术性条件µ熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅的定义和轨道特征µ了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅µ了解停时概念和最优停止定理µ了解由停止一个鞅产生的其它鞅型随机过程µ了解二次变差和协变差过程，多布-迈耶分解µ复习伊藤积分的定义和主要性质µ掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质µ掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理并熟练应用该定理进行测度变换µ掌握鞅表示定理并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型中的作用鞅这个术语早在

3、20世纪30年代首先由Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934）。但是真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他于1953年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。。鞅在20世纪70年代末期被引入金融经济学用来描述资产的价格运动过程，最早出现在Pliska&Kreps相对于上一章随机微积分而言，由于较多地借助测度论，鞅显得更加抽象，但是令人惊

4、奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅；第十章随机过程II：鞅2并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。在本章中，我们首先在离散时间下，使用在概率基础一章中接触到的分割、条件数学期望等概念来严格地给出鞅的定义。然后澄清一些性技术要求并给出连续时间鞅的概念。介绍一些常见的鞅的例子。在讨论了鞅的两个重要子类之后，接下来我们考察多布-迈耶分解(Doob-Meyerdecomposition)，停时(stoppingtime)接下来讨论对于现代金融分析至关重要的——等鞅测度

5、变换(equivalentmartingaletransformation)和凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理(Cameron-Martin-Girsanovtheorem)。只有熟练掌握并且能够灵活运用这一方法，才能真正领略到现代金融理论的精髓。10．1概述“鞅”一词来源于法文martingale的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(doublestrategy)。但这都没有说明它在金融学中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博（fairgame）的数学模型。那么什么又是公平的赌博呢？假设一

6、个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n+1次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用X表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有nE(X

7、X)=Xnn−1n−1成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统1计上是公平的。在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把X设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而EX就是对这种价格运n动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运

8、动过程特征的热情，鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。10．1．1离散时间简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅；而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅(supermartingale)。实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。我们循序渐进地分成4个步骤来正式定义鞅：1)首先，描述概率空间。存在一概率空间{Ω,F,P}，要求σ-代数F是P-完备的，即对

9、2于任何A∈F且P(A)=0，对一切N⊂A都有N∈F成立。接下来，