线性变换的特征多项式诱导的直和分解

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1、第１８卷第１期高等数学研究Ｖｏｌ．１８，Ｎｏ．１２０１５年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪａｎ，２０１５ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１５．０１．００５线性变换的特征多项式诱导的直和分解谢启鸿，杨翎（复旦大学数学科学学院，上海２００４３３）摘要从线性变换的特征多项式的因式分解入手，研究由特征多项式诱导的全空间的若干种直和分解，得到Ｊｏｒｄａｎ标准形理论的一个几何证明，全空间关于线性变换不可分解的刻画以及只存在平凡的不变子空间的刻画．关键

2、词线性变换；特征多项式；直和分解；不变子空间中图分类号Ｏ１５１．２１文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１５）０１－００４０－０４ＤｉｒｅｃｔＳｕｍＤｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓＩｎｄｕｃｅｄｂｙＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃＰｏｌｙｎｏｍｉａｌｏｆａＬｉｎｅａｒＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＸＩＥＱｉｈｏｎｇ，ＹＡＮＧＬｉｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｉｓｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２００４３３，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅ

3、ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｏｆａｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｗｅｓｔｕｄｙｓｏｍｅｄｉｒｅｃｔｓｕｍｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅ，ａｎｄｏｂｔａｉｎａｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆＪｏｒｄａｎｃａｎｏｎｉｃａｌｆｏｒｍｓ，ｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｉｎｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｓ，ａｎｄｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｖ

4、ｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｓｈａｖｉｎｇｏｎｌｙｔｒｉｖｉａｌｉｎｖａｒｉａｎｔｓｕｂｓｐａｃｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ，ｄｉｒｅｃｔｓｕｍｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｉｎｖａｒｉａｎｔｓｕｂｓｐａｃｅ在教学过程中重视线性空间和线性变换等几何ｆ（λ）＝｜λＩＶ－φ｜，概念，发挥相关几何工具的作用，可以让学生更好地即满足理解和掌握高等代数课程中的核心内容．事实上，在ｆ（φ）＝０．教学过程中强调几何概念至少有以下三个方

5、面的好这一重要定理将多项式理论和线性变换理论巧妙地处．首先，可以培养学生运用几何直观去理解和研究联系在一起，从而可以深入地探讨线性变换的相关问题，而并非单纯地以代数的观点去思考问题．其性质．本文主要研究线性变换的特征多项式诱导的次，运用代数语言与几何语言之间的转换，可以将很全空间Ｖ的若干种直和分解，并以此得到一些有趣多代数问题转化为几何问题来考虑，并用几何的方的应用．法加以解决．最后，以几何的方式阐述高等代数中的首先，我们证明一个简单的引理，它是教材［１］一些经典内容，可以为数学专业的某些后续课

6、程做的习题６．３．８．好相应的铺垫．引理１设Ｖ是数域Ｋ上的ｎ维线性空间，φ是Ｖ因此线性变换性质的研究应该是高等代数教学上的线性变换．设φ的特征多项式中强调的重点．比如说，Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ定理告诉ｆ（λ）＝｜λＩＶ－φ｜＝ｆ１（λ）ｆ２（λ），我们：线性空间Ｖ上的任一线性变换φ都适合自身其中ｆ１（λ）与ｆ２（λ）互素．设的特征多项式Ｖ１＝Ｋｅｒｆ１（φ），Ｖ２＝Ｋｅｒｆ２（φ）．证明收稿日期：２０１２－０５－２４；修改日期：２０１４－１０－２１基金项目：复旦大学数学科学学院数学类基础

7、课程教学团队（国家Ｖ＝Ｖ１Ｖ２，级）项目资助．其中Ｖｉ是φ－不变子空间，而且φ｜Ｖ的特征多项式ｉ作者简介：谢启鸿（１９７６－），男，江西赣州人，博士，教授，从事代数几为ｆｉ（λ）（ｉ＝１，２）．何研究．Ｅｍａｉｌ：ｑｈｘｉｅ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ杨翎（１９８０－），男，四川成都人，博士，副教授，从事微分几证明因为ｆ１（λ）与ｆ２（λ）互素，故存在何研究．Ｅｍａｉｌ：ｙａｎｇｌｉｎｇｆｄ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎｕ１（λ），ｕ２（λ）∈Ｋ［λ］，使得第１８卷第１期谢启鸿，杨翎：线性变换的特征

8、多项式诱导的直和分解４１易证，向量组｛α，φ（α），…，φｒ－１（α）｝线性无关，它们ｆ１（λ）ｕ１（λ）＋ｆ２（λ）ｕ２（λ）＝１．代入λ＝φ，可得生成的子空间记为Ｕ．若Ｕ＝Ｖ，则结论成立，故不ｆ１（φ）ｕ１（φ）＋ｆ２（φ）ｕ２（φ）＝ＩＶ．妨设Ｕ≠Ｖ．设Ｗ是满足Ｗ∩Ｕ＝０的维数最大的由Ｃａｙｌｅｙ－Ｈａｍｉｌｔｏｎ定理知φ－不变子空间，我们断言０＝ｆ（φ）＝ｆ１（φ）ｆ２（φ）．Ｖ＝ＵＷ．任取α∈Ｖ，则如果断言成立，则对φ｜Ｗ用归纳假设即可证明命题α＝ｆ１（φ）ｕ１（φ）（α）＋ｆ２（φ