在互素多项式下核的直和分解及应用[1]

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1、万方数据第23卷第5期2008年10月平顶山学院学报JournalofPingdingshanUniversityV01．23No．5Oct．2008线性变换在互素多项式下核的直和分解及应用黄垄，杨锦伟(平顶山学院，河南平顶山467000)摘要：给出了两两互素多项式下线性变换的核的直和分解，并应用于幂等矩阵(对合矩阵)的秩的等式证明中．关键词：互素多项式；线性变换；核；直和分解中图分类号：0151．21文献标识码：A文章编号：1673—1670(2008)05—0042—03笔者给出线性变换在互素多项式下核的直和分解的结论，并应用于矩阵秩的等式证明中

2、去，给出文献[1]中有关结论的另一种证明，系统给出这类问题的解决方式．A∈P““正整数m≥2，如果A”=A且A‘≠A(后=2，3，⋯m一1)，则称A为m幂等矩阵；如果A“=E且A‘≠E(后=1，2，⋯，m一1)，则称A为m对合矩阵．1线性变换在互素多项式下核的直和分解的结论定理1工(戈)以(戈)，．．Z(菇)∈P[x]，且两两互素以算)=工(戈)·以(戈)··Z(戈)(sI>2)；∥是数域P上的n维线性空间y的一个线性变换，则1)Ke矿(仃)=Ke妖(盯)oKe吼(矿)0⋯oKe妩(盯)2)若八盯)=0，有Kerf(盯)=V证明1)Ke斫(盯)+Ke

3、攻(盯)+⋯+Ke矿(盯)∈Ke畎o-)(1)事实上：Vn∈Ke矾(矿)+Ke吼(盯)+⋯+Ke矿(盯)“=0[1+0c2+⋯+乜，∥(盯)·“；=0，i=1，,---s．。．八盯)a=八盯)al+八盯)Ot2+⋯+八仃)仅；=∽(or)⋯，(盯))(fl(矿)a。)+∽(盯)六(盯)⋯，(盯))(五(盯)d：)+．⋯+(Z(盯)五(盯)⋯，一，(盯))(，(盯)d。)=0即a∈Kerf(Or)，故(1)成立．2)Ke矾(矿)+Ke矾(矿)+⋯+Ke巩(13")2Ke认盯)(2)事实上：Q(，(戈)Z(戈))=1(i巧，i，J=l，2，⋯s)．’．(

4、工(x)L(茗)⋯Z一。(搿)Z(菇)厶(菇)一Z(X)，工(名旎(戈垅(戈)⋯Z(戈)，⋯五(戈珑(戈)⋯，(戈))=1．·．]ui(髫)Ee[x]，i=1，2，⋯5，使得u，(x)A(x)L(z)一·，(z)+M：(髫)^(戈)厶(戈)··矿(戈)+⋯+“。(髫)^(戈)·-Z一。(戈)=1且口：“。(or珑(盯)六(盯)一Z(矿)+“2(OrM(盯)厶(盯)··Z(or)+⋯+酯，(仃)工(or)··Z—l(盯)=E故Vp∈Ke畎盯)即八(r)13《(盯)一Z(盯)卢=0．’．p=／Z，(o)L(盯埚(or)‘·Z(,r)13+“2(盯)Z(矿

5、M(Or)··矿((r)13+⋯+U，(盯M(矿)五(盯)⋯，一，(口)p记卢i=／2i(盯M(∥)··Z—l(矿)，+。(or)一Z(or)口i=1，2，⋯，5则／：(盯)卢i=“i(盯状盯)JB=0屈∈Kerf,(矿)i=1，2，⋯s故(2)成立由(1)，(2)有：Kerf(盯)兰Ke玩(盯)+⋯+Ke矿(盯)(3)3)Ke蜕(盯)N(Ke蜕(盯)+⋯+Ke蜣一l(盯)+Kerf,+l(∥)+⋯+Ke矿(矿))={0}事实上：V占∈Ke蜣(盯)n(Ke】昕(矿)+⋯+Ke玩一1(盯)+Ke识+l(矿)+⋯+Kerf,(盯))则有Z(口)艿=0，6

6、∈Ke圻(矿)+⋯+Ke蜣一l(盯)+Kerf,+。(盯)+⋯+Kel哌(矿)=Ker[fi(盯)··Z—l(盯)Z+。(盯)一Z(盯)]收稿日期：2008—03—10作者简介：黄墼(1965一)，男，河南省信阳入，平顶IU学院数学与信息科学学院副教授，主要研究方向：高等代数和应用数学万方数据第5期黄垄，杨锦伟：线性变换在互素多项式下核的直和分解及应用·43．即圻(or珑(盯)··Z一。(盯)Z+。(矿)‘。Z(口)艿=0又‘．‘(Z(石)∥(石))=1(i巧，i，歹=l，2，⋯s)．·。U(戈)Z(x)f2(戈)一Z一。(名)，+-(菇)⋯，(石)

7、)=1．·．存在配(名)，秽(茹)使得：“(z)五(戈)+口(x)^(戈)f2(菇)一Z一，(髫)五+，(戈)”Z(石)=1M(cT)f,(矿)+移(盯M(矿珑(盯)’‘Z—l(矿)fi+，(盯)··乒(盯)=E．‘．6=u(矿M(盯)6+秽(盯)Z(矿)五(盯)⋯Z一。(盯)，+。(盯)‘‘Z(盯)6=0故：Ker八盯)=Kerfl(盯)oKerf2(盯)0⋯oKerf,(盯)4)Ker八盯)∈V另一方面．Vd∈V有八盯)a=O·d=O即a∈Ker八盯)．‘．V=Ker八盯)定理1得证．用维数描述定理1，则有：推论l，(石)∈P[戈]，(i=l，2

8、，⋯s；si>2)，且■(戈),f2(石)，⋯Z(z)两两互素，令厂(x)=Z(戈)f2(x)··乒(戈)，