多项式互素教学提纲.doc

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1、多项式互素精品文档多项式互素小结互素多项式亦称为互质多项式.若数域上的两个多项式，除零次多项式外不再有其他的公因式，则这两个多项式称为互素的.中两个多项式与互素的充分必要条件是中存在多项式与，使一、互素定义:,若，则称为互素的（或互质的）。二、互素的判定与性质：①互素，使②若，且，则③若，且，则。④若，则。三、多项式互素的充分必要条件：设是数域F上的一元多项式，如下条件等价①与互素②，（或者说与只有常数项公因式。）③存在使。④对任意的，存在使⑤与无公共根。四、例题：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1、（20

2、13杭州师范大学考研题）：已知，且，证明：证明：方法一：=方法二：由已知条件得，存在，使得。取，，则，且有，从而。2、（2010年河南科技大学考研题）如果多项式不全为零，证明：与互素。证明：存在多项式，使。因而由定理得所以与互素。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3、（2002年上海交通大学考研题）设，且，证明。证明：设要证明及首先因为，，所以由条件知道，从而。另一方面，由于所以由条件知道，。于是由，，得，，从而。所以所以4、（2012年中国科学院考研题）设多项式，多项式与互素。证明：对任意多项式有其中，，都

3、是多项式，或.分析：只需要证明即可证明：由得则对其中的用来除，用带余除法，这里或.故得收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档于是5、设，证明：证明：由于，故，，由互素性质得到，从而再利用互素的性质，得6、如果，，那么.证明：设，，两式相乘得所以7、如果不全为零0，且，那么证明：设.由于不全为0，所以.设，则那么.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档8、证明：对于任意的正整数n，都存在多项式，使得，。证明：显然，从而对于任意的正整数n，有，进一步有。于是，存在多项式，使得，将两边都乘2，得，移除得。令，则得

4、出，注：此题中有与是互素的，所以我们就可以用互素的充分必要条件得到这个等式。五、做题反思：1.在做有关多项式互素部分的习题时，我们应该学会掌握通常的解题步骤。一定要重视审题，认真找出题中所给出的每一个条件，还要注意解题的完善。2.掌握基本题的一般方法。虽然高等代数中解题的方法比较灵活，技巧性也比较高，但很多基本问题的解题方法及思路还是有一定规律的。对于一些无固定方法的习题，要善于从已知到未知中找联系，逐步确定解题方案。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3.多项式互素的习题多为证明题，那么我们就应该有针对性地多

5、练这方面的问题，从中发现规律、总结经验：①用定义证明，有一些显而易见的问题直接用某一方面的知识就能去证明，按定义去做即可。②分析性逻辑性比较强的证明。这需要分析问题所涉及到的知识，主要看涉及到哪些定理，这些定理之间有什么联系，从中找到解决问题的切入点，从而完成问题的证明。六、总结：在多项式中互素是尤为重要的，一定要记住关于多项式互素的所有的定义、判定和它的所有性质。在做题的时候要注意每道题中，是哪两个之间的互素，并合理运用它们。关于多项式互素的题大部分都是证明题，所以大家还要组织好自己的语言证明好每道题。收集于网络，如

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