一类线性变换多项式的维数特征

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1、一类线性变换多项式的维数特征摘要：本文给出了一类线性变换多项式的维数特征定理，将该定理应用于矩阵多项式的秩问题，获得或推广了现行文献中许多结果。本文的主要结果是：定理1　设，，是数域上维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是.定理2　设，，两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换.则.关键词：矩阵的秩；矩阵多项式；线性变换AkindoflinearsubstitutionmultinomialdimensioncharacteristicSunTian(DepartmentofMathematic

2、s,XiaoganUniversity)Abstract:Thisarticlehasproducedakindoflinearsubstitutionmultinomialdimensioncharacteristictheorem,appliesthistheoreminthematrixmultinomialorderquestion,obtainedorhaspromotedinthepresentliteraturemanyresultsThemainresultsofthispaperare

3、:Theroem1soppose，，isonnumberfieldPanUygurlinearspaceVlinearsubstitution,thenisthefullessentialconditionofTheroem2Let,Ifarecoprime.isonnumberfieldPanUygurlinearspaceVlinearsubstitution.Then.Keywords:rankofmatrix;matrixpolynomial;lineartransformation１　引言与主

4、要结果在近几年的一些重点院校数学专业研究生入学考试中，经常出现下列一类试题：1．设是数域上维线性空间上的一个线性变换，用表示上的恒等变换，证明.　　（北京大学2005）2．设是阶矩阵，是阶单位阵，证明：的充分必要条件是其中表示矩阵的秩.　　（重庆大学2001）3.设是阶矩阵，，证明为幂等矩阵当且仅当.（华中科技大学2004）4．设是阶矩阵，证明：的充分必要条件是.（四川大学2000）以上命题中必要性的证明相对容易一些，充分性的证明在目前国内流行的两种版本（北大版与北师大版）的高等代数教材中没有涉及到，考

5、生往往感到无从下手。对于这类问题的讨论，在高等代数教科书上，也只是在习题中出现过以下结论：结论1　设阶矩阵满足，则.结论2　设阶矩阵满足，则.实际上结论1、结论2的逆命题也成立，它们刻画了幂等矩阵与对合阵的秩特征，但对其逆命题及证明问题，一般很少有资料或文献所涉及.本文将对以上结果进行推广，得到一个更一般的定理，并将该结论应用于线性变换或矩阵多项式，较简单的获得现行文献[1～8]中许多结果.本文的主要结果是：定理1　设，，是数域上维线性空间的一个线性变换，则的充分必要条件是.定理2设，，是数域上维线性空

6、间上一个线性变换，则.定理3设两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换，则.定理4　设，，两两互素，是数域上维线性空间的一个线性变换.则.本文中用表示单位矩阵，表示线性空间的恒等变换，表示线性变换的核，表示线性变换的象，表示.２　引理及定理证明引理1　设，，是数域上维线性空间的一个线性变换，则.证明　因为，所以存在，使得，则，这里是线性空间的恒等变换.设，下证：设，则，由上式得.记，，则.由，得，同理得到，故，即得又易知，，故，于是.再证：，则，那么，即，所以.定理１的证明由引理1得到：.于是.　　(

7、必要性)　若，则注意到:与即得.(充分性)　若，则，于是.　　在文献[7］中，对矩阵秩的一个重要不等式，给出了它取等号的一个充分必要条件，即下面的引理2，借助该引理，我们可以把定理1推广成一个更一般的结果（前文的定理2）：引理2[7]　设、分别为和矩阵，则的充分必要条件为存在矩阵、，使得.定理2的证明设为的一组基，在该基下的矩阵为，则、在该基下的矩阵分别为、，而且、及因为，所以存在，使得，则，由引理2，得于是.推论1设，，，则.推论2设两两互素，，则.定理3的证明　因为，，由定理2，得，，所以-=-即得

8、+=)+.定理4的证明对作归纳：时由定理2即知结论成立，假设结论对成立.由于两两互素，令，则与也互素，由归纳法假设，得于是由定理2及上式，得.３　结果应用下面将利用我们的结果（定理1-定理4），把国内近期一些文献中许多结果统一起来，重新给出其推导，其方法较相关文献更简单，某些结果较原结论更优.为行文方便，下面的一些结论以命题形式给出：命题1　设，，，则的充分必要条件是.证明　由推论1即得.注　在本命题的相同条件下，文献[2]仅得到：我们通过