分解因式多项式分解因式的概念

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1、八年级数学（下册）第二章分解因式1分解因式多项式分解因式的概念多项式分解因式的概念请同学观察下面两个等式：a3＋b3=(a＋b)(a2-ab＋b2)，3ｍ2-3ｎ2＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ).可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因式都能整除左边的式项式.我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的分解因式.多项式分解因式的概念分解因式与整式乘法的关系：分解因式结合：a2-b2（a+b）（a-b）整式乘法把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式

2、，也叫做把这个多项式因式分解.分解因式与整式乘法的关系结论：分解因式与整式乘法正好相反.说明：从左到右是分解因式其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）.问题：你能利用分解因式与整式乘法正好相反这一关系，举出几个分解因式的例子吗？如：由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1)由(x+2)(x-1)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等.分解因式是整式中的一种恒等变形分解因式与整式乘法是两种相反

3、的恒等变形，也是思维方向相反的两种思维方式，因此，分解因式的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程。问：下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?(1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2；(2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2)；(3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2；(4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ；(5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)；(6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2.答：(1)，(2)，(5)题中，从左式到右式的变形是分解因式，因为各题中的左式都是多项

4、式，而右式都是整式乘积形式，均符合分解因式的定义；而(3)，(4)，(6)题中，从左式到右式的变形都不是分解因式，各题中的右式都不是整式乘积的形式，因此不符合分解因式的定义.多项式的分解因式，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.单项式与多项式相乘，得ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ；多项式与多项式相乘，得(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)＝ｘ2+(ｍ＋n)ｘ＋ｍn.乘法公式有：平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ2－ｂ2.完全平方公式:(ａ＋ｂ)2＝ａ2＋2ａｂ＋ｂ2，(ａ－ｂ)2＝ａ2－2ａｂ＋ｂ2.立方和与

5、立方差公式:(ａ＋ｂ)(ａ2－ａｂ＋ｂ2)＝ａ3＋ｂ3，(ａ－ｂ)(ａ2＋ａｂ＋ｂ2)＝ａ3－ｂ3.观察乘法运算及乘法公式中，等号的左边和右边各是什么式子?答：各式的等号左边都是整式乘积形式，而各式的等号右边都是多项式.如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就得到:ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)，　ｘ2＋(ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)，　ａ2-ｂ2＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)，　　　　　　　　ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2，　ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ

6、)2，　ａ3＋ｂ3＝(ａ＋ｂ)(a2－ａｂ＋ｂ2)，　ａ3－ｂ3＝(ａ－ｂ)(a2＋ａｂ＋ｂ2).这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的分解因式.由此可得出：多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；而多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.课堂练习1.选择题.(1)下列等式中，从左到右的变形为分解因式的是().Ａ.12ａ2ｂ＝3ａ·4ａｂＢ.(ｘ＋2)(ｘ－2)＝

7、ｘ2－4Ｃ.4ｘ2－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ).(2)下列等式中从左到右的变形分解因式的是().Ａ.(ｘ＋5)(ｘ－1)＝ｘ2＋4ｘ－5Ｂ.ｘ2－ｙ2－1＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－１)-1Ｃ.ｘ2－10ｘｙ＋25ｙ2＝(ｘ－5ｙ)2Ｄａｘ2－ｂｘ2－ｘ＝ｘ2(ａ－ｂ)－ｘDC(3)下列等式中从左到右的变形分解因式的是().Ａ.ａｂ(ａ－ｂ)＝ａ2ｂ－ａｂ2Ｂ.(ｘ－3)(ｘ＋3)＝ｘ2－9Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ(ａ＋ｂ)－ａＤ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ(ｂ＋ｃ－ａ)2.判

8、断下列各题从左到右的变形，哪些是分解因式?哪些不是?为什么?(1)(ｘ＋ｙ)2＝ｘ2＋2ｘｙ＋ｙ2；(2)ｙ2－16＝(ｙ＋4)(ｙ－4)；(3)ｘ2-4ｘ＋5＝(ｘ－2)2＋1；(4)ｍ2－2ｍ＋1＝(ｍ－1)2；(5)ａ2－25＋ａ－1＝(ａ＋5)(ａ－5)＋ａ－1；(6)ｘ2－5ｘ－6＝(ｘ－6)(ｘ＋1).D否是否是否是小结1.多项式的分解因式的概念是，把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.2.