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1、Seediscussions,stats,andauthorprofilesforthispublicationat:https://www.researchgate.net/publication/267067655ExactsolutionsforundampedsinglependulumequationofmotionArticle·January2005CITATIONSREADS0163authors,including:XiangzhengLiMingliangWangHenanUniversityofScienceandTech
2、nologyFudanUniversity56PUBLICATIONS2,089CITATIONS60PUBLICATIONS3,635CITATIONSSEEPROFILESEEPROFILESomeoftheauthorsofthispublicationarealsoworkingontheserelatedprojects:theNationalNaturalScienceFoundationofChinaViewprojectAllcontentfollowingthispagewasuploadedbyXiangzhengLion1
3、7February2017.Theuserhasrequestedenhancementofthedownloadedfile.第26卷第5期河南科技大学学报(自然科学版)Vol.26No.52005年10月JournalofHenanUniversityofScienceandTechnology(NaturalScience)Oct.2005文章编号:1672-6871(2005)05-0084-03无阻尼单摆运动方程的精确解111,2汤正新,李向正,王明亮(1.河南科技大学理学院,河南洛阳471003;2.兰州大学数学系,甘肃兰州7300
4、00)摘要:分别引进不同的未知函数的变换,将无阻尼单摆运动方程转化为等价的新未知函数及其导数为变元的多项式型的非线性常微分方程。这种常微分方程可用F2展开法求解。因这里的F2代表每一个Jacobi椭圆函数,所以F2展开法可以看作是Jacobi椭圆函数展开方法的概括或浓缩。无需计算Jacobi椭圆函数,得到了无阻尼单摆运动方程的14种借Jacobi椭圆函数、双曲函数和三角函数表示的精确解。关键词:F2展开法;无阻尼单摆运动方程;精确解;Jacobi椭圆函数中图分类号:O175.2文献标识码:A0前言考虑无阻尼单摆运动方程θ¨+sinθ=0(1)是
5、非线性振动问题中研究得较多且较深入的一个例子。因方程(1)是非线性的,其精确解难以得到,物[1]理学者以前通常努力寻求其近似解,解法有逐步逼近法,李茨平均法,相图解法等,当代则用有限元方[2][3～13]法,样条法借助计算机求解。在求非线性数学物理方程的精确解方面,最近提出的F2展开法是很有效的工具。由于这里F2代表每一个Jacobi椭圆函数,因而F2展开法可看作是各种Jacobi椭圆函数[14]展开方法的概括或浓缩。本文尝试用F2展开法求出方程(1)的精确解。首先分别作未知函数的变换将方程(1)化为与其等价的新未知函数及其各种导数的多项式形式
6、的方程,而后用F2展开法导出方程(1)精确解的浓缩公式,再由浓缩公式分离出方程(1)的各种精确解。1单摆运动方程的精确解1.1变换1θ=2arctanv(t)(2)将式(2)代入方程(1)得到等价的的v(t)常微分方程(ODE)223¨v+v¨v-2vÛv+v+v=0(3)22考虑方程(3)中v¨v与vÛv齐次平衡,可设方程(3)的解具有形式v=aF(t),a≠0(4)其中a为待定常数,F(t)满足一阶ODE2423F′=PF+QF+R,(F″=2PF+QF)(5)将式(4)代入方程(3),并利用方程(5),可将方程(3)的左端变为关于F(t)
7、的多项式,令多项式的系数为零,得到关于a的代数方程组322F:a[2P-a(-1+Q)]=0,F:a(1+Q-2aR)=0(6)1+Q解方程组(6)得a=±(7)2R基金项目:河南省自然科学基金资助项目(0111050200);河南省教育厅自然科学基金资助项目(2003110003);河南科技大学科研基金资助项目(2001QN13)作者简介:汤正新(1963-),男,河南孟州人,讲师.收稿日期:2005-02-21©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsr
8、eserved.http://www.cnki.net第5期汤正新等:无阻尼单摆运动方程的精确解·85·21+Q其中P,Q,R满足关系式:Q-4PR=
