应力集中圆孔附近的形变场

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1、应力集中圆孔附近的形变场1刘述伦,薛江红(暨南大学理工学院，广东广州510632)［摘要］具小圆孔薄板受均匀拉伸荷载的作用为弹性力学第一类边值问题，此类问题由于给定的是面力边界条件，因而位移解不是唯一的。本文依据几何参数和荷载条件的对称性，采用形变对称性，获得了圆孔附近的形变场的解析解。算例分析和有限元分析表明变形之后的圆孔为一椭圆形，且在远离圆孔处，回归到无圆孔时单向拉伸的位移解。结果显示解析解和有限元解非常一致。［关键词］圆孔应力集中；边值问题；位移场；有限元分析［中图分类号］O343.1 1.引言具小圆孔的弹性体在受外载时会在孔边出现应力集

2、中的现象。孔边应力集中是局部现象，在几倍孔径以外的距离处，应力的大小几乎不受孔的影响，其分布情况几乎与无孔时相同。具小圆孔的等截面薄板受均匀拉伸为给定面力边界条件的第一图1类边值问题，该类问题的应力分量和应变分量是唯一确定的，但在对几何方程积分时，允许位移项存在一个差项，因而其位ìqæa2öqæa2öæa 2ö移解不是唯一的。本文运用柯西方程，并ïsr=ç1-2÷+ç1-2÷ç1-32÷cos2 jï2èrø2 èrøèrø采用对称条件，消除刚体平移和刚体转动24ïqæaöqæa ö的影响，获得了板内的位移分布情况。进ísj=ç1+2÷-ç1+3

3、4÷cos2 jï2èrø2 èrø一步的算例分析和有限元分析表明孔边附22ïqæaöæaö近位移场的解析解和有限元解非常接近。t=-ç1-÷ç1+3÷sin2 jïrj22î2èrøèrø2.圆孔孔边的应力（1）平面问题极坐标下的物理方程（平面应力考虑一等截面矩形薄板在板的正中央问题）为：有半径为a 的小圆孔，在左右两边受均布ì1 ïer=(sr-msj)拉力q 的作用。取坐标原点为圆孔的中Eïï1 心，坐标轴平行于边界，如图1所示。应íej=(sj-msr)（2）ïE力分量在距离原点为r，角度为j位置处的2(1+m)[1，2.3]ïg=t表达

4、式为：ïîrjrjE平面问题极坐标下的几何方程为：［收稿日期］2011-03-23［作者简介］刘述伦（1988-），男，硕士研究生，研究方向：复合材料结构力学1 ì¶u 当r>>a时，运用坐标转换公式，即rïe=r可获得在远离孔边弹性薄板内的位移分¶rïï1 ¶uju r布：íe=+（3）jïr¶jrìq ï1¶ur¶ujujïu=xgrj=+-íE（7）ïîr¶j¶rrïv=-q myîE将方程（1）带入（2），之后带入（3）并该结果与无圆孔时单向拉伸的位移解完全积分，得到位移场的通解一致。将公式（6）中的角度j换为j+90°ìé2qa ïu 

5、r=ê(1-m)r+(1+m)+(1+m)rcos2 j就能得到受Y轴方向拉力矩形板的位移分ï2 Eër量表达式。24ïaa ù+4cos2j-(1+m)cos2jú+Asinj+Bcosjï3ïrrûí3.算例及有限元分析2qéa ïu j=ê-(1+m)rsin2j-2(1-m)sin2 jï2Eër考虑一弹性薄板，其弹性模量ïa 4ùï-(1+m)sin2jú-Acosj+Bsinj+CrE=200GPa ，泊松比m=0.3，板的大小为3ïîrû5m´3 m，板厚为2 mm，拉力大小为（4）q=1000MPa ，受力方向为长轴方向。圆孔方程

6、（4）中有三个未定系数，代表着刚体位于板正中央，半径为a=0. 05 m。图2为平移和转动对位移分量的影响。由图1可根据公式（6）计算的圆孔受力后的变形情见，本问题为给定面力边界条件的第一类况。图3为有限元模拟的位移场的分布情边值问题，位移边界条件并没有直接给况。从两个图形的比较中可以看出，圆孔出。但由于结构几何参数和载荷条件的对由原来的圆形变成了椭圆形。此外，由图称性，可认定位移场也具有对称性，即：3可见，在薄板受力的长轴两端变形最j=0,p,p, 3 p时，u=0；（5）大，这与公式（7）给出的结果完全一致。j22将（4）式带入（5）式，有A

7、=0,B=0,和C=0。由（4）式有板内位移场的分布为：ìé2qa ïu r=ê(1-m)r+(1+m)+(1+m)rcos2 jï2 Eër24ïaa ù+4cos2j-(1+m)cos2 júï3ïrrûí2qéa ïu j=ê-(1+m)rsin2j-2(1-m)sin2 jï2 Eërïa4ùï-(1+m)sin2jú3ïîrû（6）图22 两端均匀拉伸荷载的作用，根据几何参数和载荷的对称性，采用位移对称性，消除了刚体平移和刚体转动的影响，获得了薄板内的位移分布。算例分析和有限元分析表明，圆孔受力之后变形为一椭圆形，且在远离圆孔处，回归到

8、单向拉伸的位移分布。［参考文献］［1］徐芝纶.弹性力学(上册)[M].第四版.北京;高等教育出版社,2006.［2］杨桂通.弹性力学[M