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1、2001年第2期3基于跳跃过程的指数期权模型杨智元陈浪南(厦门大学财政金融系361005)内容提要:简单利用Black&Scholes公式对指数期权进行定价,会存在理论上的不一致性。本文抓住组成股票价格指数的个股运动变化相对独立的特点,引入跳跃过程描述股票价格的运动变化,并在一定的限制条件下得出指数期权的定价方程及定价模式。这一方法在很大程度上避免了采用扩散过程描述股票价格指数运动与描述个股价格变化的理论不一致性。关键词:指数期权跳跃过程风险中性定价一、引言期权定价理论常用于描述标的资产运动变化
2、过程的随机模型是连续时间和连续样本轨道的扩散过程。许多研究者如Black&Scholes(1973)、Merton(1973)、Rubinstein(1983)、Zhang(1995)等人均采用了扩散过程研究期权定价问题。最早对股票指数期权进行研究的是Evnine&Rudd(1985)。一般地,对指数期权进行的研究大多采用扩散过程描述标的资产运动变化、利用修正的Black&Scholes公式进行实证分析。应该指出,如果简单利用Black&Scholes公式对指数期权进行定价,则会存在理论上的不一
3、致性。一般地,如果把股票指数看作一个随机过程,假设股指遵从几何布朗运动,则可利用Black&Scholes公式进行定价。然而,由于对数正态分布的算术加权平均不再是对数正态分布,这样,如果个股的价格是对数正态分布的,则股票指数的“价值”就不应是对数正态分布。换句话说,股票指数按几何布朗运动变化与个股按几何布朗运动变化的假设是相互矛盾的。Blailey&Stulz(1989)给出了一个不同于Black&Scholes分析框架的指数期权定价模型。他们采用一般均衡分析研究股票指数期权定价问题。他们的研究
4、对象是一个具理想市场、连续交易的简单生产经济。Blailey&Stulz首先给出了指数的波动率为常数情形下的股票指数期权定价公式。然后他们把波动率为常数的情形推广到波动率为随机的情形并给出相应的定价公式。Blailey&Stulz的模型同样是采用扩散过程模型研究期权定价问题,他们的模型推广了Merton(1973)的随机利率模型和Hull&White(1987)的随机波动率模型。在波动率或者利率是随机的情形下,利用Black&Scholes公式对期权进行定价时将产生显著的偏差。他们的研究能够对这
5、一误差进行一定程度的修正,并且其随机利率模型可描述利率的均值回复现象。然而,一般均衡分析所得出的模式是不容易进行实证检验的,在应用上也有一定的难度。而且,他们的模型在理论上有一不足之处:模型中的随机利率不能给出符合现实的利率期限结构。3本文为国家自然科学基金项目(79870039)以及中加教育合作课题(CCUIPP)1999成果之一。61杨智元、陈浪南:基于跳跃过程的指数期权模型描述标的资产运动变化过程的连续时间随机模型还有一类是不连续样本轨道的跳跃过程。不过,按Runggaldier(1997
6、),采用随机点过程研究金融问题的仅有Babbs&Webber(1993),Bjork(1995),Bjork,Kabanov&Runggaldier(1995),Bjork,Masi,Kabanov&Runggaldier(1995),Jarrow&Madan(1995a),Jarrow&Madan(1995b),Lindberg,Orzag&Perraudin(1995),Shirakawa(1991)等①,再加上早期研究股票期权定价的Cox&Ross(1975),Cox&Ross(1976)
7、以及Merton(1976)等。相比于被大量采用的扩散过程模型,跳跃过程方面的研究还显得很不足。应用扩散过程进行研究最大优点是能够对证券价格变动给予较好的模拟②。另外,在利用扩散过程研究期权定价时,所得到的定价方程往往是一个可转化为热传导方程的二阶线性抛物形方程,能够利用标准的数学物理方程理论进行求解。而且所得的价格公式往往较为简捷。相比之下,跳跃过程对证券价格变动则拟合得较差。而且,利用跳跃过程构建模型经常需要加入许多限制,这使得模型与现实会有较大的偏差。定价方程的求解一般也比较复杂,有时甚至
8、没有解析解③。尽管使用跳跃过程进行研究有其不足之处。然而,跳跃运动过程有其特殊性:在一定的条件下,按跳跃运动过程变化的总体,其各个个体的变动可以相互独立。这一特殊性是扩散过程所无法描述的。因此,分析在跳跃过程之下的期权定价在理论和实践上均具有重要意义。笔者准备在这一部分对Cox&Ross(1975)以及Cox&Ross(1976)的一个模型进行修正。导致本修正模型的动因是:笔者认为可以利用此修正的模型对股票指数期权进行定价。在1975年,Cox&Ross研究了基于跳跃过程的期权定价问题。λdt(
