四元数的分析中偏微分方程边值问题

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7、『J『IJ舢Y2095271四元数分析中的偏微分方程的边值问题基础数学专业研究生王治蓉指导教师杨丕文(教授)摘要：本文用复分析、四元数分析的方法，讨论了四元数分析中Maxwell方程的初边值问题与一阶双曲型方程的Haseman边值问题．文章分为两章．第一章，在文[42】的基础上，用复分析与四元数分析的方法，研究了磁单极子存在时Maxwell方程的初边值问题，获得了不同情况下问题的可解条件及通解．第二章，在文[39，57】的基础上，讨论了在可交换四元数空间中一阶双曲型方程(i玉+歹玉)(^+k

8、h)=o的H8seman边值问题，获得了解的积分表达式．关键词：拟四元数代数；磁单极子；Maxwell方程；初边值问题；可交换四元数空间；Haseman边值问题第i页，共30页BoundaryvalueproblemsforthepartialdifferentialequationslnquaternionlcanalySiS‘●·●I●Master：WangZhirongPureMat．hematicsSupervisor：YangPiwenAbstract：Inthispaper，byusingmethodsfromcomplexanaly

9、sisandquaternionicanalysis，weinvestigatetheinitial—boundaryvalueproblemsfortheMaxwellequationsandtheHasemanboundaryvalueproblemsforthehyperbolictypeequationsoffirstorderinquaternionanalysis．Thispaperconsistsoftwochapters．Inchapterone，onthebasisofthetext[421，byusingmethodsfrom

10、complexanalysisandquaternionicanalysis，weinvestigateaninitial—boundaryvalueproblemfortheMaxwellequationswhenthemagneticmonopoleisexist，andobtainthegeneralsolutionsandsolvableconditionsoftheproblemrespectivelyindifferentcases．Inchaptertwo，onthebasisofthetext[39，571，weinvestiga

11、tedtheHasemanboundaryvalueproblemsforthehyperbolictypeequationsoffirstorder({岳+j『两0)(^+尼止)=0inthecommutativequaternionspace，andobtaintheintegralrepresentationofgeneralsolutions．Keywords：quasi—quatemionalgebra；magneticmonopole；Maxwellequartions；initial_’boundaryvalueproblem；co

12、mmutativequaternionspace；Hasemanboundaryvalueproblem引言早在18世纪，随着微分学的产生，一些物理问题引起许多物理学家数学家的关注，开始将许多自然现象用数学形式进行表达，从而将其转化为物理方程．其中最早的是由欧拉提出的弦振动的二阶方程，随后数学家达朗贝尔也在其著作中提出了特殊的偏微分方程．由此开创了这门新的学科二偏微分方程，引起很多学者的关注，并对其进行了研究．数学家丹尼尔·贝努利和拉格朗日对数学物理方面的问题进行了研究，并丰富了偏微分方程的内容．在十九世纪，偏微分方程得到了迅速发展．法国数学家傅

13、立叶，在研究热流动的过程中，提出一种偏微分方程，即三维空间的热方程．他的研究对偏微分方程的发展有很大的影响．在物理方程中比较重要，研究的也比较多的三类方程分别是椭圆型方程，双曲型方程，抛物型方程．关于此类方程的边值问题及其解法也特别多，有很多学者用实分析的方法进行研究，也有部分学者用复分析的方法，四元数分析的方法，广义解析函数理论进行研究．19世纪，Cauchy、Weierstrass、Riemann的工作为复分析理论的建立奠定了基础，这一理论是在复数域上建立起来的，而复数域上的函数理论与边值问题是复分析理论的重要内容，对于处理二维物理学问题有极

14、大的作用．在文【1．101中，就对复变函数的一些性质进行了系统地论述，并给出Dirichlet，Riemann，Riemann．Hilb