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《clifford的分析中全纯cliffordian函数性质与其边值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、摘要W.K.Clifford将高维空间中的几何结构和代数理论结合起来,创立了一种几何代数―Clifford代数.Clifford代数是一个可结合但不可交换的代数结构.Clifford分析就是在Cli-fford代数上进行的经典函数理论分析.它是对实分析、复分析、四元数分析等向高维空间的推广.作为一个活跃的数学分支,它在数学以及其它学科的各个领域都具有重要的理论和应用价值.例如:在偏微分方程、奇异积分方程和广义函数理论中,研究Cauchy型积分是解决各类边值问题的重要基础.另外,它还被广泛地应用于弹性力学、流体力学、机器人学、计算生物学、化学、计算机科学等不
2、同现代科技领域.n维欧式空间中Dirac算∑n∂子D=ei的引入及其零解正则函数的出现是推进Clifford分析发展的重要里程碑.∂xii=1对照单复分析中全纯函数的经典内容,国内外许多学者进行了大量研究,如:正则函数的Cauchy积分公式、正则函数的边值特性、正则函数的级数展开式、Morera定理、Rieman-n边值问题等.而后,H.Leutwiler等对Dirac算子的修正促进了Clifford空间中不同函数类的推广.从而,相继出现的超正则函数、超调和函数、k正则函数、k超正则函数等新的函数类大大丰富了Clifford分析的研究内容.在Cliffor
3、d分析中,偏微分方程D∆mf(x)=0(或:f(x)D∆m=0)的解,称为全纯Cliff-ordian函数,是对正则函数的一种新型推广.正则函数一定是全纯Cliffordian函数,反之未必成立.如:xn为全纯Cliffordian函数和超正则函数,但不是正则函数.但是我们从其定义容易看到,将Laplace算子至多m次作用到全纯Cliffordian函数后就能转化为正则函数.因此,作为一种更为广泛的函数空间,它进一步拓宽了人们在Clifford代数上实复Clifford分析的研究视野和发展方向.本文共分四部分:第一章给出了相关预备知识、一些主要引理和一个球
4、坐标变换,并且证得了两个不等式估计,为后面的一些积分估计提供了基础.首先我们介绍了实Clifford代数R0;2m+1上的偏微分方程D∆mf(x)=0,它的解即为全纯Clifffordian函数,以及全纯Cliffordian函数的积分表示式的核函数及其性质.然后给出了全纯Cliffordian函数在有界域上的积分表示式和Plemelj公式,为本文研究这类函数在无界域上的性质奠定了基础.第二章给出了全纯Cliffordian函数的一些简单性质.首先我们指出全纯Cliffordian函数空间构成一右R0;2m+1模,但非左R0;2m+1模.其次我们借用黄沙老
5、师第一类拟置换的手法从正则函数的角度给出了全纯Cliffordian函数的两个等价条件,从而不仅简化了我们对于全纯Cliffordian函数的判别,同时也建立了正则函数与全纯Cliffordian函数之间的联系.最后讨论了定义于R2m+2中有界域Ω取值于Clifford代数R的2m+1次连续可微函数的0;2m+1III开拓定理.这里应用有界域上的Cauchy积分公式和Plemelj公式以及一些技巧经过计算可以证得定理.第三章,我们分别介绍了定义于R2m+2中的无界域U取值于Clifford代数R的2m+0;2m+11次连续可微函数的Cauchy型积分及其C
6、auchy主值与Plemelj公式,这两部分和经典全纯函数理论类似,堪称全纯函数理论的基石.它们是讨论开拓定理和边值问题的重要基础.首先我们定义了全纯Cliffordian函数的Cauchy型积分及其Cauchy主值,并证明了当这个Cauchy型积分定义在区域边界上时在Cauchy主值意义下收敛.这里我们将无界积分区域U的边界∂U分成有界和无界两部分来分别讨论,在处理无界部分时,我们对这个积分的Cauchy核函数部分与密度函数部分进行了巧妙估值和增设条件,并类似无界域上处理正则函数的方法证得了在Cauchy主值意义下的积分收敛.对于有界部分,我们是将积分分
7、成正常积分和弱奇性积分两项来处理,从而只需证明弱奇性项的收敛性,而这一结论我们借助于有界域上证明正则,k正则等函数类的常见手法容易证明.在Plemelj公式的证明过程中,我们主要证明全纯Cliffordian函数的Cauchy型积分中那些具有弱奇性项的连续性.主要是借助第一章一些重要的积分估值和本章前面的思想得以解决的.第四章讨论了定义于R2m+2中有界域Ω取值于Clifford代数R的2m+1次连续可微0;2m+1函数的一类边值问题,包括非线性和线性两种情况.对于非线性情况,我们先是定义了相关算子,用Plemelj公式将边值问题转化为积分方程问题,然后证
8、明了这些算子的β模是有界的,再利用积分方程理论和Schauder不
