与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题

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1、与自共轭偏微分方程边值问题等价的变分问题：一般椭圆方程puquf21uxy,CG，pxy,CG，qxy,CG在上满足下列非齐次边界条件之一：ugs,uphsnupuksn其中gs，hs，Ks为给定在边界上的连续函数，s为的弧长变量。考虑到0时，第三类边界条件可以化为第二类边界条件，我们将上述三类边界问题化为两类问题来讨论.puquf边界条件为：ugs,upuks

2、n则有定理：椭圆方程puquf的解uu所满足的充分必要条件是泛函0222Ju[]puqu2ufdD(u2)kudD在ug的条件下，在uu处取极小值。01证：构建一个函数u1它在区域D内足够光滑，且在边界上满足非齐次边界条件：uu1gs,puksn3令wuu则其是满足下列其次边界条件的椭圆方程：1，*pwqwfw01wpw0n3*ffpu11qu式中，Twp

3、wqw若令，则可证明在上述齐次边界条件下，T是对称正定算子。事实上，根据内积的定义和格林公式，有(Twv,)[](pw)qwvdD}D[](vpw)vpwqwvvdD}DwwvpdvpdD()pwvqwvdD12nn()pwvqwvdDwvdD2将上式的w，v易位，得(,)Tvw(pvwqvwdD)vwdD2于是，有(,)Tvw(Twv,)可见，T为对称算子。222若令vw,(Tww,)(p

4、wqwdD)wd0D2可见，T又是正定算子。于是，对**pwqwfffpu11quTwpwqw，，w01wpw0n3*Jw[](Tww,)2(,wf)pwqwwdD2[fpu11quwdD]DD所对应的泛函=222DDpwqwdDwd2[fpu11quwdD]2将wuu代入，得1Jw[]p(uu1)quu(1)(u

5、udD1)2[fpu1qu1](uudD1)DD222DDp(uu1)quu(1)dD(uu1)d2[fpu1qu1](uudD1)22(uu1)d2[fpu1qu1](uudD1)2D2222DDpu2uu1u1dDquu(1)dD(uu1)d2[fpu1qu1](uudD1)2D222puqu2fudDudD222*2

6、pu1qu12fudD1ud1D22[DDpuu1quudD1]2uud12[pu1quudD1]2令2[puuquudD]2uud2[puquudD]2(,)JuuDD11111112Juu1(,)1DD[puu1quudD1]uud1[pu1quudD1]2DD[upu1upu1]dDuud1[upudD12u1puduud

7、1n2uu11p()wudpuduud111nn22u1u1u1pudpwdpuud1112nn2nu1pudkud112n于是，有JwJuJu21222Ju[]puqu2fudD(u2)kudD222*u2Ju2[]1Dpu1qu12fudD12pud1ud112n由于u1是事先构造的已知函数，故Ju21[]是常数。Ju2

8、1[]0于是，有Jw[]Ju[]*这样，椭圆方程pwqwfJw[]0满足w01因为wuu于是有1Ju[]0ug1222Ju[]puqu2fudD(u2kud)D222pu