自伴边值问题4学时

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1、自伴边值问题目录2.1边值问题2.2Sturn-Lieuville边值问题2.3Posson边值问题2.4Helmholtz边值问题2.5Fredholm边值问题2.1边值问题边值问题是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的控制方程、初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。已知场域边界上各点值自然边界条件参考点电位有限值边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界

2、上各点的法向导数一、二类边界条件的线性组合，马氏方程或波动方程通常给定的边界条件有三种类型：第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化

3、时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。场是客观存在的，因此Maxwell方程解的存在确信无疑。边值问题的求解分离变量法行波法等保角变换法控制方程其次边界条件初始条件2.2Sturn-Lieuville边值问题不同时为零不同时为零控制方程边界条件f(x)已知，成为确定性边值问题，当f(x)=kr(x)U(x)，其中r(x)已知，U（小）未知，称为广义特征值问题，当r(x)==1时退化为一般特征值问题1.A是线性连续算子2.A是对称算子3.A自伴算子4.满足一定条件后，可以是正定算子2.3Posson边值问题当上式中的p(x)=0,q(

4、x)=0时，方程退化为Poisson方程一般情况下同样可以证明，Poisson方程也是线性、连续、对称、自伴算子,满足条件的正定算子方程Helmholtz边值问题当上式中的p(x)=0,q(x)=k2时，方程退化为一维Helmholtz方程仍然是线性连续算子，当k2〉0时是下有界算子，所以仍然是自伴边值问题1-D2-D3-D矢量场矢量边界条件可以证明，也是Lagrange意义下的自伴算子,而且正定格林定理设任意两个标量场及，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，如下图示。SV,那么，可以证明该两个标量场及满足下列等式式中S为包围V的闭合曲面，为标量场在S表面的外法线

5、en方向上的偏导数。略2.5Fredholm边值问题根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成上两式称为标量第一格林定理。基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。设任意两个矢量场P与Q，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P及Q满足下列等式式中S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理。无论何种格林定理，都是说明区域V中的场与边界S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满

6、足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。格林定理广泛地用于电磁理论。矩量法的基础以上均是已知电磁场源分布，求解场的边值问题当需要求解源的分布问题，就必须求解Fredholm边值问题该算子方程具有Lagrange意义下的自伴特性，而且一定是正定的一、确定性问题二、标量特征值问题该算子方程具有Lagrange意义下的自伴特性，而且一定是正定的三、矢量特征值问题该算子方程具有Lagrange意义下的自伴特性，而且一定是正定的并矢格林函数并矢格林函数Greenfunction=linearmappingfromscalarsourceto

7、scalarfieldorscalarpotentialDyadicGreenfunction=linearmappingfromvectorsourcetovectorfield表示在一般情况下，磁场某一个方向分量的大小与电源三个方向的大小都有关线性连续对称自伴正定S-L方程Poisson方程Helmholtz标量定解问题Helmholtz矢量定解问题Helmholtz标量特征值问题Helmholtz矢量特征值问题Fredholm标量确定性问题Fredholm标量特征值问题Fredholm矢量特征值问