5.3自伴算子的谱论.pdf

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1、第24讲自伴算子的谱论教学目的：掌握自伴算子谱的特征。讲解要点：1自伴算子数值值域的特征。2自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方程解的关系。3紧自伴算子的投影算子分解。本节我们讨论复Hilbert空间上的自伴算子.*定理1若H是Hilbert空间，A∈Β(H)，A是A的共轭算子，则*(1)ρ(A)={λ:λ∈ρ(A)}，*σ(A)={λ:λ∈σ(A)}（5-3-1）*(2)若x是A的相应于λ的特征向量，y是A的相应于µ的特征向量，λ≠µ,则x⊥y.a证明1只须证明第一式，若λ∈ρ(A)，λI−A为正则算子，此****时()λI−A=λI−

2、A正则，故λ∈ρ(A)，{:λλρ∈⊂()}AAρ().*****但(A)=A，于是{λ:λ∈ρ(A)}⊂ρ(A)=ρ(A)，两端取复共轭*得到ρ(A)⊂{λ:λ∈ρ(A)}，从而得到等式.a*2若(λI−A)x=0,(µI−A)y=0，x≠0，y≠0，则*λ(x,y)=(λx,λy)=(Ax,y)=(x,Ay)=(x,µy)=µ(x,y).于是(λ−µ)(x,y)=0，λ≠µ，故(x,y)=0.从而x⊥y.定理2设H是Hilbert空间，A∈Β(H)是自伴算子.1(1)A的谱点都是实数,特别地A的特征值都是实数.(2)对应于不同特征值的特征向量

3、彼此正交.(3)σ()A=∅.ra证明1∀∈λC,x∈X,由自伴性,22((λλI−−−=−−+Axx),)(,(xIAx))λλx(Axx,)x(,xAx)2=2Imixλ这里Imλ是λ的虚部.于是22Imλλx≤−+−≤−(()IAxxxIAx,)(,()λ)2()λIAxx或者()IλλI−≥Axm.x由此知当Imλ≠0时λI−A是一一的.此外令()λI−Axy=,则−1−1()IλλI−≤Aymy,−1()λI−A是有界的.此时λI−A的共轭λI−A也是一一的,由第四−1章§3定理6R().λIAH−=根据()λI−A的有界性,R().λ

4、IAH−=于是λI−A是正则的.矛盾即说明Imλ=0,σ()AR⊂.a*2A是自伴算子，A=A，若x,y是相应于λ,µ的特征向量，a由1，λ,µ为实数，λ≠µ，既是λ≠µ.由定理1(2)即得到所要的结论.aa3若λ∈σ(),A由1,λ是实数,从而()λI−AI*=−λA.由r于R()λIAH−≠,由第四章§3定理6,⊥NIA()λ−=RIA()λ−≠{0},于是λ∈σ(),A矛盾.p为了更精细地考察自伴算子谱点的特性，我们引进下面概念.定义设H为Hilbert空间，A∈Β(H)，称集合ω(A)={(Ax,x):x∈H,

5、

6、x

7、

8、=1}（5-3-2

9、）2为A的数值值域.称R=sup

10、µ

11、为算子A的数值半径.Aµ∈ω(A)定理3设H是Hilbert空间，A∈Β(H)是自伴算子，则(1)σ(A)⊂ω(A)，特别地σ(A)，ω(A)都由实数构成.(2)sup

12、µ

13、=

14、

15、A

16、

17、.µ∈ω(A)a证明1注意(,)Axx是实数,我们证明若λω∈()A，则λσ∈()A.设d=ρ(λ,ω(A))=inf

18、λ−µ

19、，则d>0.∀x∈H，x≠0µ∈ω(A)时2xx2d

20、

21、x

22、

23、≤λ−(A(),)

24、

25、x

26、

27、

28、

29、x

30、

31、

32、

33、x

34、

35、=

36、(,)(,)

37、λxxA−xx=

38、((λI−Axx),)

39、≤

40、

41、(λI−Axx)

42、

43、

44、

45、

46、

47、

48、.于是d

49、

50、x

51、

52、≤

53、

54、(λI−A)x

55、

56、（5-3-3）若y∈R(λI−A)，yy→.不妨设y=(λI−A)x，这里nn0nnx∈X.由式（5-3-3）{x}是Cauchy序列，H完备，不妨设x→x.nnn0由λI−A的连续性得到y=(λI−A)x，故y∈R(λI−A)，R(λI−A)000是闭子空间.λI−A是到上的.若不然由Riese表现定理,存在yHy∈,1=使得∀∈xH,((λIAxy−=),)0.特别地,((λIAyy−),)=0,于是2λλ==∈yA(,)()yyAω,与所设矛盾.于是λI−A既是一一的,又是到上的,由逆算子定理,

57、−1()λI−A是有界的.所以λ∈ρ().A(1)成立.a2∀µ∈ω(A),存在x∈H，

58、

59、x

60、

61、=1，µ=(Ax,x).于是2

62、

63、

64、(,)

65、µ=≤=AxxAxA，故sup

66、µ

67、≤

68、

69、A

70、

71、.µ∈ω(A)32另一方面，设a=sup

72、µ

73、，则

74、(Axx,)

75、≤ax

76、

77、

78、

79、.由极化恒等式µ∈ω(A)知4Re(Ax,y)=(A(x+y),x+y)−(A(x−y),x−y)于是

80、4Re(Axy,)

81、

82、((≤Axyxy+++−−),)

83、

84、((Axyxy),)

85、22≤a

86、

87、x+y

88、

89、+a

90、

91、x−y

92、

93、22=2a(

94、

95、x

96、

97、+

98、

99、y

100、

101、).后者利用了内积空间的

102、平行四边形公式.Ax若Ax≠0,取

103、

104、x

105、

106、=1,y=则

107、

108、Ax

109、

110、AxAx

111、

112、Ax

113、

114、==(Ax,)Re(Ax,)

115、

116、Ax

117、

118、

119、

120、Ax