2.3 线性边值问题和等价变分问题

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1、2.3线性边值问题和等价变分问题2.3.1变分和变分方程泛函是函数空间到数值空间的映射，取不同的形式的函数对应有不同的泛函值。在[x1，x2]上，取简单泛函：它的定义域是在[x1，x2]上有定义的可取函数集M，记为1.若给定一个很小的变化称为函数的变分，表示函数形式的微小变化。其中是任意给定的正常数，是可取函数，为变分号。导致泛函的变化将式中的一次项，即泛函增量的线性主部定义为泛函的一阶变分：同理可定义二阶变分应注意以上诸式中，是函数形式的变化引起泛函的变化，而自变量x没变。2.变分的计算规则变分的计算规则与微分

2、的规则完全相似：作为不同的运算，算子和可以互相交换运算次序：同理：算符和也可以交换运算顺序。3.变分问题反映在图形上，泛函是一族标注泛函值的曲线，这一族曲线对应的就是可取函数集。可以从图中来寻找使泛函取极值的极值曲线，如：极大值曲线，使；极小值曲线，使。与函数取极值相似，使泛函取极值的条件是泛函的一阶变分为零，又称之为变分方程。亦可根据极值曲线的二阶变分判断极大或极小值：更一般的说法，泛函取极值称为泛函驻定，驻定条件是变分方程的解。解答中的待定系数需按边界条件来确定。于是要求解边值问题Þ变分方程+边界条件Þ称为变

3、分问题。2.3.2变分问题及Euler边值问题：1.简单泛函的变分方程从式中可知：凡，必有成立。而函数变分，它的选择有其随意性，一般不为零，所以，凡，必有成立，即：变分方程等价于偏微分方程。称此偏微分方程为Euler方程，或变分方程的Euler方程。上述Euler方程，其边界条件，即未知函数的端点条件，与该Euler方程一道构成边值问题，与之相对应的变分问题是：变分方程+边界条件。2.含二阶偏导数的泛函设多变量函数的泛函记函数的变分，其偏导数的变分为，相应的有：，，于是范函的一阶变分基于上述变换，变分方程就等价于

4、Euler定解问题：例：设已知二阶偏导致的泛函其中：是未知实函数，是已知实函数。按L2空间内积定义，泛函为其被积函数为于是Euler定解问题为简化写为：对上面的结果进行讨论：(1)若在边界上U取为零值，则构成的变分问题，将等价于第一类齐次边界条件的Poisson边值问题。(2)在边界上当，且时，形成第三类齐次边界条件，则自由边界的变分问题(或称为无条件变分问题)与具有第三类齐次边界的Poisson边值的问题等价：由算例分析可得以下有益的重要结论：a．Euler边值问题所含第三类齐次边界条件(其中包括第二类边界条件

5、)，已包含在泛函的变分方程中，它自然得到满足，所以称为自然边界条件。b．Euler边值问题中的第一类边界条件，未能包含于变分方程之中，所以在变分问题应于单独反映，称为强加边界条件，该变分问题又称为条件变分问题。c．一般而言，为保证解的唯一性，若无强加边界条件，至少也应确定位函数的参考点，实际上仍然以强加条件表示。所以，Euler边值问题应等价于条件变分问题。也就是说可以用Euler边值问题求解相应变分问题，也可以通过求解变分问题极值函数(驻定条件)来求解Euler边值问题。2.3.3线性算子方程转化为变分方程前面

6、所述问题的反问题：要从线性算子方程导出其等价变分方程。定理：设线性正算子A具有定义域和值域，是符合所给边界条件的函数集，则由已知函数和未知函数构成的确定性算子方程(A)等价于泛函为极小值(驻定)的变分方程(B)[或写为：]证明：任意选取已知函数1.证明凡(A)式的解U必满足(B)式取V=U+h，由(2)式泛函为由算子方程和正算子的定义2.证明凡(B)式的解U必满足(A)式作（a是复常数）的泛函，由1中对(2)求解应有(1)若取是实数，应有看为复函数，由内积定义和应为共轭复数，有(为实数)(2)若取为虚数，应有(3

7、)由即按(A)和(2)有：即由于的任意取函数，一般不为零：确定性算子方程成立。这一定理十分重要。应当理解为：的解答U是符合所给定边界条件的，即满足第三类齐次边界条件，它与无条件变分问题等价，应用时必须注意到这一点。在应用中常将分方程写为