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1、多复变双解析函数中的一个非线性边值问题多复变双解析函数中的一个非线性边值问题赵晓东1，姚益民2(1.康定民族师范高等专科学校数学系,四川康定626001;2.重庆文理学院数学与计算机科学系,重庆永川402160) 摘要:本文研究了二元复变双解析函数的一个非线性边值问题.首先,将边值问题转化为积分方程组问题,然后利用积分方程方法和Schauder不动点定理证明解的存在性并获得解的积分表达式. 关键词:二元复变函数;双解析函数;非线性边值问题 中图分类号:0174.5文献标识码:A
2、在文献[1]和[2]中讨论了多复变解析函数Cauchy型积分的边界性质,并获得了Plemelj公式.后来,文[3]讨论了多复变广义解析函数的一个边值问题,文[4]对多复变函数一阶拟线性椭圆型方程组的广义Riemann-Hilbert边值问题作了研究.文[5-7]讨论了多复变函数在多圆柱型区域上的一些边值问题.特别是在文[8]中,黄沙研究了二元复变解析函数于双圆柱域上的一个非线性边值问题,文[9]研究了二元复变解析函数一个带位移的一个非线性边值问题,文[10]又研究了二元复变广义解析函数的一个边值问题.另
3、外,在文[11-12]中,研究了单复变函数的双解析函数性质和一些边值问题.本文在此基础上,给出了二元复变双解析函数的定义和Plemelj公式,研究了二元复变双解析函数于双圆柱域上的非线性边值问题.1预备知识 设C2空间中单位双圆柱域为，设，的边界分别为:，:,记,用分别表示的内部和外部.设,当点从趋于时,记函数的相应极限值为.设为上的二元复变函数,若任给,有,其中,,是正常数,则称在上满足H?lder条件,并记为. 定义的范数为,其中,,,则构成Banach空间,并且,.(1)其中是正常数,. 引
4、理1设函数在内解析，在上连续.则= 引理2[8]设函数在上连续，则Cauchy型积分 .（2）是的解析函数,并且.2二元双解析函数及其Plemelj公式 定义1设二元复变函数,.若满足方程组.则称在上为的二元双解析函数.定理1设在内为双解析函数，且和，，在上连续.则 其中为二维复平面上的任一定点. 证:由在内为双解析函数，即令=，于是有 =0.同理可得.故在内解析.又由已知在上连续.所以结论成立.由引理1和定理1有二元双解析函数的Cauchy积分公式. 定理2设在内
5、为双解析函数，且和，，在上连续.则+=定义2设,,,为上的绝对可积函数.称+（3）为Cauchy-Fredholm型积分.其中,,,为核密度. 定理3设,,,为上的连续函数，则Cauchy-Fredholm型积分(3)在外是双解析函数，且有界.证:由+ =++根据引理2可知，，，在外是解析函数，从而可证在外是双解析函数.显然也有有界.引进奇异积分算子,,,,,,,,,.引理3[8]设Cauchy型积分(2)式中，则(4) 定理4设Cauchy-Fredholm型积分（3）式中,,,，则对于有下
6、列Plemelj公式(5)或(6)或(7)或(8)或证=+++令，，.由,,,,可证.于是根据引理3有(5)成立.又=+,=+,=.同理可证(6),(7),(8)成立.3问题的提出 设,,,,为上给定的二元复变函数,，，，在上给定(C为复平面).求在,,,内双解析,在,,,上连续的函数,使它满足有界,且适合下列非线性边界条件 +(9)+(10)+(11)+(12)其中,称以上问题为问题.假设Cauchy-Fredholm型积分(3)式为问题的解,将(5),(6),(7),(8)分别代入(9),(10
7、),(11),(12)式有(13)(14)(15)(16)其中积分算子分别为++ .于是问题等价地转化为奇异积分方程组的问题.4问题解的存在性和积分表示式引理4[8]设,则存在与无关的正常数使得,(),,,,,.推论1设,则有,,且,,,.其中是与无关的正常数. 证由==.又由,可知,于是根据引理4得,,从而.同理有,,并且可证,,,.其中是与无关的正常数.定理5设问题中的,(),且+(17)其中,()为正常数,表.又设,且,,，，，，,,,则当时,问题可解,其表达式为(3)式,,为给定的正常数(
8、).证记连续函数空间的闭子集,由文献[8]的定理3可知至少存在一个适合奇异积分方程(16).由(1)和(15)式有+++++（18）由(17)式，并运用与文献[8]相同的方法可得（19）为正常数.由此,当,根据题设,并利用（18）,（19）式以及引理4和推论1有.故是闭凸子集到自身的映射.下证是上的连续映射.对任意函数列,且于上一致收敛于，即对任意,当充分大时,有.而由文献[8]可得,对任意,当充分大时有 ,,.（20）其中为正常数.另外（
