例析函数中十一对易混的问题

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1、例析函数中十一对易混的问题函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十二对问题加以剖析并举例说明．一、定义域与值域例1．（I）若函数的定义域为，求实数的取值范围．（II）若函数的值域为，求实数的取值范围．分析：（I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立．令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，．（II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集．当时，，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求．

2、故实数的取值范围是．评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．二、定义域与有意义例2．（I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围．（II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围分析：（I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．（II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即．评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集．三、值域与函数值变化范围例3．（I）若函数的值域为，求实数的取值范围．（II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围．分析：（I）因为函数，所

3、以，即的值域为，于是有，解得或．（II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值．四、主元与次元例4．（I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．（II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．分析：（I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：i）当时，即时，只要，即，此时矛盾．ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾．iii）当时，即时，只要，即．综上，实数的取值范围．（II）原来的不等式可以转化为对

4、于恒成立；只要即可，于是，解得或或评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．五、有解与恒成立例5．（I）已知，若恒成立，求实数的取值范围．（II）已知，若有解，求实数的取值范围．分析：（I）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的上方，即就可，易知，所以，．（II）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的上方即可，即，又，所以，评注：“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可．有解，有解．“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．六、单调区间与区间单调例6．（I）若函数在区间上单调递增，

5、求实数的取值范围．（II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围．分析：（I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得．（II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得．评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．七、某点处的切线与过某点的切线例7．（I）求曲线在点处的切线方程．（II）求曲线过点的切线方程．分析：（I）由得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（II）设切点为，又，所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为．又在切线上，于是就有，即，解得或；当时，切点就是，切线为；当时，切点就

6、是，切线斜率为，切线为．评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．八、对称与周期例8．（I）若函数对一切实数都有，且，求．（II）若函数对一切实数都有，且，求．分析：（I）因为对于一切，都有，即，恒成立，那么就有的图象关于直线对称，所以，．（II）因为函数对一切实数都有，那么就有是周期函数且，则．评注：若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线对称．若函数对一切实数都有，则有是周期函数，且其中一个周期为．九、中心对称与

7、轴对称例9．（I）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．（II）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．分析：（I）若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线成轴对称；又时有；所以时，有，；解析式为（II）函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称；又时有；所以时，有，．解析式为评注：函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称．十、时恒成立与时恒成立例10．（I）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．（II）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．分析：（I）设，则；于是，对于任意的时，恒成立．即；

8、容易知道，故．（II）对于任意的，都有恒成立，等价于当时，；容易求