2011-2012高数a2a试卷及答案

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1、课程考试试题学期学年2011/20122高等数学A2(A卷)拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:数理学院赵立宽孙绍权应物、信息、机电等相关专业单正垛（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．向量在向量上的投影为__________．2．函数在点处的全微分为__________．3．若积分区域D为，则二重积分化为极坐标形式的二次积分为．4．设积分曲线L为圆周，则曲线积分________．5．若级数收敛，则的取值范围是_________．二、选择题（每小题3分，共15分）1．在曲线的所有切线中，与

2、平面平行的切线________．只有一条只有两条至少有3条不存在2．二次积分交换积分次序后为________．3．已知为某一函数的全微分，则的值是________．31244．设为周期为的函数，它在区间上定义为，则的傅立叶级数在处收敛于________．第6页，共2页5．方程的一个特解应具有的形式是________．三、计算题（每小题7分，共21分）1．设，具有二阶连续偏导数，求．2．计算二重积分，其中是由直线及所围成的闭区域．3．利用高斯公式计算曲面积分，其中是抛物面（）的下侧．四、计算题（每小题7分，共21分）1．利用格林公式计

3、算曲线积分，其中L是在圆周上由点到点的上半圆弧．2．求微分方程的通解．3．设函数求（1）在点处的梯度；（2）在点处沿着从点到点的方向的方向导数；（3）在点处方向导数的最大值．五、计算题（每小题８分，共16分）1．求幂级数的收敛域及和函数．2．设曲面在点处的切平面平行于平面，求该曲面在点处的切平面及法线的方程．六、证明题（每小题6分，共12分）1．证明：级数收敛，并判断是条件收敛还是绝对收敛．2．设函数由方程确定，其中具有一阶连续偏导数,且第6页，共2页，证明：．2011-2012学年2学期高等数学A2A卷试题标准答案拟题人：赵立宽书

4、写标准答案人：赵立宽拟题学院（系）：数理学院适用专业：机自、测控、热能、应物等专业（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1．2；2．；3．；4．；5．．二、选择题（每小题3分，共15分）1)　B2)　A3)　C4)　D5)　B三、计算题（每小题7分，共21分）1．解--------------------2分----------------------4分．----------------------7分2．解：-----------------------4分----------------------

5、--7分3．解：记曲面，方向向上，第6页，共2页和所围成的空间有界闭区域为-----------------------1分则由高斯公式得=（其中）---------------------3分-----------------------5分故原式------------------------7分四、计算题（每小题7分，共21分）1．解设沿x轴从(-2,0)到(2,0)的直线段为L1，则L1：y=0，x从-2到2。记与所围成区域为,则由Green公式知,-------------------4分又，---------------

6、---5分故。------------------7分2．解原方程可化为------------------2分这是一阶非齐次线性微分方程,可用公式法。设原方程通解为-----------------4分------------7分3．解（1）----------------2分第6页，共2页--------------3分（2），----------------5分（3）方向导数最大值就是梯度的模，即----------------7分五、计算题（每小题8分，共16分）1．解：级数的收敛域为；显然对----------------

7、--3分------------------5分-------------------8分2．解:设--------------1分则----------------4分则曲面在点处切平面法向量为--------------6分因的法向量为，故。切平面方程为：整理得---------------7分第6页，共2页法线方程为--------------8分六、证明题（每小题6分，共12分）1．证明：设，则，所以级数与级数敛散性相同，而级数发散，故级数发散，即原级数不绝对收敛--------------------3分令，由于数列单调递

8、减且，故原级数条件收敛。--------------------6分2．证明：将方程两边同时关于求偏导数得，于是，--------------------2分类似可得：，-------------------4分左边=右边所以结论成立