两类具有年龄结构的n种群竞争系统的最优输入率控制

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1、第一章前言§1．1选题背景和意义二十世纪以来，随着科技的进步，世界经济得到了飞速的发展，人们的物质生活得到了极大的丰富，但同时我们所生存的环境却遭到了严重的破坏，气候异常，雨、雪等灾害频发，更为严重的足地球上的生态环境在急剧恶化，生物物种每天都在消失．近些年来，随着人们环保意识的增强，越来越多的人们开始关心生态环境，可持续发展也已经成为越来越多的国家关注的主题，而生物资源作为一种可再生的资源，对经济的可持续发展和生态的平衡意义重大．种群生态学主要是研究生物种群的变化规律及其对生态环境的影响，作为生态学的一

2、个重要分支，它足迄今为止数学在生态学中应用的最为广泛和深入，也是发展的最为系统和成熟的一个分支．而生物种群动力系统的控制问题主要是利用数学模型的方法揭示种群的发展动态及预测其未来的变化，因此可使我们能够采取有效的措施进行控制，使其向着好的状态发展，这对我们来说具有重大的应用价值．种群系统的最优控制就足数学在种群生态学上的一个重要应用，它主要应用数学中的控制理论，简单的说就足通过对种群系统施加控制作用，从而使我们能够以最小的代价获得最大的收益．§1．2种群系统模型及其研究现状对种群动力系统的最优控制问题的研

3、究已经有半个多世纪了，从1966年Le触itch首先分析了一个具有离散年龄结构的种群模型的最优收获控制问题f3】以来，众多学者得到了很多重要的成果．1980年，c．RDrres和w．Fair开始讨论具有连续年龄结构的最优收获问题【4】，但他们假设控制策略只与年龄有关．1985午．德国学者Brolcate研究了一个比较一般的具有年龄结构的种群动力系统的最优控制fⅡJ题【6】，证明了控制问题的Pontrya百n极大值原理．1990年，L．F．Murphy和s．J．smith讨论了具有年龄结构的时变种群系统的最

4、优收获问题【loI．罗马尼亚学者sebastianAnita在1998年分别讨论了非线性种群系统和线性时变周期种群系统的最优收获问题【14】一【蚓，并且Anita编写的一本名为具有年龄结构的种群动力系统的分析与控制【l6】的专著在2000年得到出版．在国内也有很多学者从事这方面的研究，得到了很多成果．2001年，陈任昭，李健全，付军利用抛物型偏微分方程的有关理论，证明了一类与年龄相关的非线性时变种群扩散方程广义解的存在性问题【18I．2002年，陈任昭，张丹松，李健全研究了具有空间扩散的种群系统解的存在唯

5、—性与边界控制问题【2l】．2003年，何泽荣，王绵森研究了一类非线性周期种群的最优收获控制问题f24】．2004年，赵春，王绵森．何泽荣，赵甲研究了一类周期种群系统的适定性及最优控制问题【27I．2005年，赵春，王绵森，赵平研究了一类非线性时变种群扩散系统的适定性及最优收获问题【3l】．2006年，何泽荣，朱广田研究了基于年龄分布和加权总规模的种群系统的最优收获控制问题【37】．2008年，王战平，赵春讨论了一类周期种群系统的稳定性和最优控制问题⋯，并利用Lyapuno、r函数，对系统的稳定性进行了分

6、析，给出了系统稳定的充分条件．上面的这些成果都足关于单种群的，而实际中在同～环境下可能会有两个或更多的种群同时存在．虽然多种群的最优控制问题的研究比较困难，但我们还足得到很多成果．1997年，Fister研究了一个捕食者一食饵抛物型系统的最优收获阿题【131．2004年，F斌er和Lenhart研究了下面竞争种群系统的最优收获问题【281MaXZTZA【K·(。)，(n㈡u(。，t)+鲍(n)9(Q，t)u(n，￡)一去(Bt，2(n，t)+玩92(口，啪】d8dt，其中(u(口，t)，移(n，￡))为下

7、列系统的解笔+謇叫小问州札一u小∽咖∽蜩z，塞+害一z瓴咖一∥一掣ZA眯㈡“(删z，，．^u(o，z)=／历(n)u(n，￡)do，，At，(o，f)=／仍(n)u(口，￡)dn，“(n，o)=uo(a)j口(8，o)=t，0(n)．文章中证明了系统解的存在唯一性和解关于控制变量的连续性，给出了控制变量的最优性条件，并利用Ekeland变分原理证明了最优控制变量的存在性．在同一年，何泽荣研究了具有年龄结构的竞争种群系统的最优生育率控制问题嘲，在这篇文章中他研究了三类最优控制问题(1)MinZT伽剐轨椭p1

8、(州融㈡以伽础+圭娄小㈦耻酬2d口’(2)Min／／L(口l(￡)．膨(f)，p1(o，t)，耽((‘，t)，口，￡)d(1眦：，．丁厂A(3)Min／／￡(侈1(f)．岛(f)，pl(口，￡)，优(n，t)，Q，f)d仃d￡，2其中鼽(口，￡)是下列系统的解梁+梁：一pl(州)pl—Al(州)p2(￡)m丽+瓦。一pl心，t)pl—Al【o，oJ圪㈣pl'梁+等：一p2(口，￡)p2一A2(州)P1(￡)聊，刁i+iF2一p