一类非线性种群扩散系统的最优生育率控制的存在性new

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1、2010年11月吉林师范大学学报(自然科学版)No．4第4期JoumalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Nov．2O10一类非线性种群扩散系统的最优生育率控制的存在性朱宏，付军2，王杰2(1．吉林师范大学计算机学院，吉林四平136000；2．吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)摘要：本文研究具最终状态观测的一类非线性种群扩散系统，利用泛涵分析和J．L，Li。ns的最优控制等理论，证明最优生育率控制的存在性．关键词：种群扩散系统；非线性积分一偏微分方程组；最优生育率控制中图分类号：0175文

2、献标识码：A文章编号：1674—3873．(2010)04．(X)46-051问题的陈述本文讨论由非线性积分一偏微分方程组所支配的种群扩散系统(P)[]：+一+。(r，，)p+(，，，；Ⅳ)p=，，，)，在=(0，)×(0，)×力内，(I．1)p(O，t，)=』p(r，t，x)p(r，t，x)dr，在7'=(o，T)×内，p(r，0，)：p0r,x)，在Oa：(0，4)×Q内，(1·2)p(r，，)：0，在∑：(0，A)×(0，)×a上，·3Ⅳ=Ⅳ(f，)j。p(r,t,x)dr，在力r(0，)×内·(1．5)其中P(r，t，)≥0是时刻t年龄为r于空间点

3、处的种群年龄一空间密度；P0(r，)是t=0时的种群年龄一空间密度的初始分布；(常数)>0是扩散系数；0(r，t，)是自然死亡率；／1(r，t，；N)是外界死亡率，它依赖于种群总数Ⅳ，反映由于外部生态环境恶化如拥挤程度等对种群动态过程的实际影响，简记为(Ⅳ)；厂(r，t，)是时刻t年龄为r与空间点x处种群的外部扰动函数，如迁移、地震等突发性灾害所造成．的死亡率等；A>0是种群个体所能适到的最高年龄．因而P(r，t，)：0，当r≥A时．式(1．4)表示区域的边界3l"2为非常不适宜于种群生存的．生育率函数是控制变量，称为生育率控制．系统(P)的状态函数P(r

4、，t，)依赖于控制量卢，所以记为P(r，t，)=P(r，t，；卢)：P(卢)，可以表明，p(p)是关于卢的非线性函数．引入如下的性能指标泛函1r．，()=111P(r，，；)一Zd(r，)Jdrdx+10flL(p)，ID>0，(1．6)-^其中∈L()是种群年龄一空间密度的理想分布，则关于种群系统(P)的实际控制问题是寻求满足等式J(fl)=inJ(f1)的∈d，(1．7)⋯p【其中d=L。。(Q)中的凸集，它在(Q)对偶的弱拓扑是闭的，(1．8)换言之，其中的拓扑是“弱一星拓扑”：若∈和若收稿日期：2010—04．12基金项目：国家自然科学基金项目(1

5、0871039)；吉林省教育厅“十一五”科研项目(2009第188号)；吉林师范大学研究生创新项目(2oo9)第一作者简介：朱宏(1962一)，男，吉林省四平市人，占林师范大学计算机学院副教授，从事微分方程及其应用的研究．·46·IV(r，，)h(r，，)dQ—l(r，，)h(r，，)dQ，vh∈L(Q)，(1．9)则pE．简记为一在中弱星．问题(1．7)中的卢E称为系统(P)的最优生育率控制，而相应的{，p()}被称为最优对．关于系统(P)，有许多学者从不同侧面进行了研究_1I7J，文[6]针对系统(P)当(，，t，；N)=0的所谓线性情形进行了研究，本

6、文将文[6]推广为依赖于N(t，)的非线性情形进行讨论，证明最优生育率控制的存在性．2系统(P)的广义解的存在唯一性系统(P)的状态是由问题(1．1)一(1．5)的解P(r，t，)来描述的，它的存在唯一性是讨论系统(P)最优控制问题的基础．为确定广义解的概念，首先按[8]引进一些记号：设H()是上的一阶Sobolev空间，：L(0；矾())，=L(0；H())为的对偶空间，<·，·>表示础(n)和它的对偶空间H(n)之间的对偶积．定义2．1E称函数PEV，Dp∈为系统(P)的广义解，若它满足下面的积分恒等式1[P(一D)+(o+(N))p+kvP·v]dQ

7、=Jn。()(r,O,x)drd+Jg2[J。dr](0)d+jdQ，V∈·(2·)T其中={l∈c(Q)，‘o，(A'f')：(r，T,x)=ot，D=+．由于在中稠，所以对于任意的∈V，积分恒等式(2．1)仍然成立，因而有与定义2．1等价的定义2．2．．定义2．2[]函数PEV为系统(P)在定义2．1意义下的广义解，当且仅当PEV，却E满足下面的积分恒等式j口<脚，>drd+jp[VpV+(。+e(Ⅳ))p]dQ=JdQ，VC-(2·2)Jn(p(0)jn[dr](0'f，)dtd戈，VE(2·3)j0(p)(r，0，)drd：jn。(r，)(r，o，

8、)drd，VE·(2·4)本文假定下面的条件成立．f(r，t，)是