2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷

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2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷　一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知sinα＜0，且tanα＞0，则α的终边所在的象限是（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）函数f（x）=sin2x的最小正周期为（　　）A．B．πC．2πD．4π3．（4分）如果向量=（1，2），=（3，4），那么2﹣=（　　）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣2）C．（1，0）D．（1，﹣2）4．（4分）计算sin（π﹣α）+sin（π+α）=（　　）A．0B．1C．2sinαD．﹣2sinα5．（4分）如图，在矩形ABCD中，=（　　）A．B．C．D．6．（4分）已知向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则向量，的夹角为（　　）A．B．C．D．7．（4分）已知m是函数f（x）=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f（m）=（　　）A．﹣1B．0C．D．18．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（4分）函数f（x）=Asinx（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=（　　）A．3B．C．D．110．（4分）已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（　　）A．[﹣1，0]B．C．D．　二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）=　　．12．（4分）已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=　　．13．（4分）角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），则tanθ=　　．14．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最大值为　　．15．（4分）已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为　　；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是　　．16．（4分）已知函数f（x）=sinxtanx．给出下列结论：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）在区间上是增函数；③函数f（x）的最小正周期是2π； ④函数f（x）的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是　　．（写出所有正确结论的序号）　三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．19．（12分）如图，已知AB⊥BC，，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，（且与同向），设∠BAE=θ（θ∈[0，π]）．（Ⅰ）当，且时，求的值；（Ⅱ）用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小． 　一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则A∪（∁UB）=　　．21．（4分）函数的定义域为　　．22．（4分）已知函数则=　　；若f（x）=1，则x=　　．23．（4分）sin2，，三个数中最大的是　　．24．（4分）某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为　　折．在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为　　折（保留一位小数）．　二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数是偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣|x﹣a|+1，x∈R．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．27．（10分）若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）+f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“T函数”．（Ⅰ）试判断函数与f2（x）=lg（x+1）是否是“T函数”，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0；（Ⅲ）试写出一个“T函数”f（x），满足f（1）=1，且使集合{y|y=f（x），0≤x≤1}中元素的个数最少．（只需写出结论）　 2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知sinα＜0，且tanα＞0，则α的终边所在的象限是（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵sinα＜0，∴α的终边在第三、第四象限或在y轴负半轴上，∵tanα＞0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选：C．2．（4分）函数f（x）=sin2x的最小正周期为（　　）A．B．πC．2πD．4π【解答】解：∵sin2x=sin（2x+2π）=sin2（x+π），∴f（x）=sin2x满足f（x）=f（x+π），由正切函数的定义可得，函数f（x）=sin2x的最小正周期为π．故选：B．3．（4分）如果向量=（1，2），=（3，4），那么2﹣=（　　）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣2）C．（1，0）D．（1，﹣2）【解答】解：2﹣=2（1，2）﹣（3，4）=（﹣1，0）．故选：A．4．（4分）计算sin（π﹣α）+sin（π+α）=（　　）A．0B．1C．2sinαD．﹣2sinα【解答】解：sin（π﹣α）+sin（π+α）=sinα﹣sinα=0．故选：A．5．（4分）如图，在矩形ABCD中，=（　　） A．B．C．D．【解答】解：在矩形ABCD中，=，则=++=+=，故选：B．6．（4分）已知向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则向量，的夹角为（　　）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为θ，又由向量，满足||=2，||=1，•=﹣，则cosθ==﹣，又由0≤θ≤π，则θ=；故选：D．7．（4分）已知m是函数f（x）=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f（m）=（　　）A．﹣1B．0C．D．1【解答】解：函数f（x）=cosx，其对称中心的横坐标：x=，k∈Z．当k=0时，可得x=m=， 那么：f（）=cos=0，故选：B．8．（4分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sin2x，向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+），即sin2（x+）=．故选：C．9．（4分）函数f（x）=Asinx（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=（　　）A．3B．C．D．1【解答】解：函数f（x）=Asinx（A＞0），周期T=2π，可得：P（，A），Q（）．连接PQ，过P，Q作x轴的垂线，可得：QP2=4[A2+]，OP2=A2+]，OQ2=A2+]，由题意，△OPQ是直角三角形， ∴QP2=OP2+OQ2，即2A2+π2=，解得：A=故选：B．10．（4分）已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（　　）A．[﹣1，0]B．C．D．【解答】解：如图，由AB=1，BC=2，可得AC=，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，），直线BC方程为x+=1则直线AM方程为y=x，联立，解得：M（，），由图可知，当P在线段BC上时，•有最大值为0，当P在线段AC上时，•有最小值，设P（0，y）（0≤y≤），∴•=（，）（﹣1，y）=﹣+y≥﹣．∴•的范围是[﹣，0]．故选：D． 　二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）=　　．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣．故答案为：﹣12．（4分）已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=　﹣1　．【解答】解：由=（1，2），=（x，﹣2），且∥，得1×（﹣2）﹣2x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．13．（4分）角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），则tanθ=　﹣2　．【解答】解：∵角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），∴x=﹣1，y=2，则tanθ==﹣2， 故答案为：﹣2．14．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最大值为　　．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）．当x+=+2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值．故答案为：．15．（4分）已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为　（3，﹣2）　；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是　（1，3）　．【解答】解：根据题意，设C的坐标为（x，y），又由点A（0，4），B（2，0），则=（2，﹣4），=（x﹣2，y），若，则有（2，﹣4）=2（x﹣2，y），则有2=2（x﹣2），﹣4=2y，解可得x=3，y=﹣2，则C的坐标为（3，﹣2），又由P（3，t），则=（﹣3，4﹣t），=（﹣1，﹣t），若∠APB是钝角，则•=（﹣3）×（﹣1）+（4﹣t）×（﹣t）＜0，且（﹣3）×（﹣t）≠（﹣1）×（4﹣t），解可得1＜t＜3，即t的取值范围为（1，3）；故答案为：（3，﹣2）；（1，3）16．（4分）已知函数f（x）=sinxtanx．给出下列结论：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）在区间上是增函数；③函数f（x）的最小正周期是2π；④函数f（x）的图象关于直线x=π对称． 其中正确结论的序号是　①③④　．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：对于f（x）=sinxtanx，其定义域为{x|x，k∈Z}，关于原点对称，且f（﹣x）=sin（﹣x）tan（﹣x）=sinxtanx，∴函数f（x）是偶函数，故①正确；当x=时，f（）=sin（﹣）tan（﹣）=，当x=﹣时，f（﹣）=sin（﹣）tan（﹣）=，＜﹣，而f（）＞f（﹣），故②错误；∵f（2π+x）=sin（x+2π）tan（x+2π）=sinxtanx，∴函数f（x）的最小正周期是2π，故③正确；∵f（π﹣x）=sin（π﹣x）tan（π﹣x）=﹣sinxtanx，f（π+x）=sin（π+x）tan（π+x）=﹣sinxtanx，∴f（π﹣x）=f（π+x），即函数f（x）的图象关于直线x=π对称，故④正确．∴正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．　三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知，且．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，，∴=． ∴．（Ⅱ）由（Ⅰ），，可得，，∴．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）画出函数f（x）在[，]上的图象如图所示； …（5分）说明：其它周期上的图象同等给分；个别关键点错误酌情给分．（Ⅱ）由知，因为，所以，…（7分）当，即时，最大值等于1，即f（x）的最大值等于1；…（8分）当，即时，最小值等于，即f（x）的最小值等于；…（9分）所以f（x）在区间上的最大值为1，最小值为；注：根据图象求出最大、最小值相应给分．（Ⅲ）根据函数的图象知，f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．…（12分）19．（12分）如图，已知AB⊥BC，，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点，（且与同向），设∠BAE=θ（θ∈[0，π]）． （Ⅰ）当，且时，求的值；（Ⅱ）用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．【解答】解：（Ⅰ）如图，以点A为原点，AB所在直线为x轴，与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系．则A（0，0），，，所以．（Ⅱ）A（0，0），，E（2cosθ，2sinθ），，，=，=因为θ∈[0，π]，所以，以a为变量的二次函数的对称轴．因为a∈[1，3]，所以当a=1时，的最小值为，又， 所以的最小值为，此时θ=0．所以，当a=1，θ=0时，的最小值为．　一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则A∪（∁UB）=　{x|x≤1}　．【解答】解：∵B={x|x＞1}，∴∁UB={x|x≤1}，则A∪（∁UB）={x|x≤1}，故答案为：{x|x≤1}．21．（4分）函数的定义域为　[3，+∞）　．【解答】解：由2x﹣8≥0，得2x≥8，即x≥3．∴函数的定义域为：[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．22．（4分）已知函数则=　4　；若f（x）=1，则x=　　．【解答】解：函数，则=f（log）=f（2）=22=4， 若f（x）=1，若x＞1，可得2x=1，解得x=0（舍去）；若0＜x≤1，可得logx=1，解得x=，综上可得x=．故答案为：4，．23．（4分）sin2，，三个数中最大的是　　．【解答】解：sin2∈（0，1），＜log1=0，=log23＞log22=1，可得其中最大值为．故答案为：．24．（4分）某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为　7.5　折． 在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为　6.7　折（保留一位小数）．【解答】解：由500+700+400=1600，故1600﹣400=1200，由1200÷1600=0.75，故打7.5折，显然三件商品价格一致时折扣最大，设购买3件商品均为a元，则2a÷3a≈0.67，故商品实际折扣力度最大约为6.7折，故答案为：7.5；6.7．　二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10分）已知函数是偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由f（﹣x）=f（x）得．…（3分）所以ax=0．因为ax=0对于定义域中任意的x都成立，所以a=0．…（5分）（Ⅱ）函数在区间（0，+∞）上是减函数．…（7分）证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则，…（9分） 由0＜x1＜x2，得x1+x2＞0，x2﹣x1＞0，，于是f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．所以函数在区间（0，+∞）上是减函数．…（10分）26．（10分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣|x﹣a|+1，x∈R．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=0，x∈[0，2]时，函数f（x）=x2﹣x+1，因为f（x）的图象抛物线开口向上，对称轴为，所以，当时，f（x）值最小，最小值为；当x=2时，f（x）值最大，最大值为3．（Ⅱ）①当x≤a时，函数．若，则f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）=a2+1；若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为；②当x＞a时，．若，则f（x）在[a，+∞）上的最小值为；若，则f（x）在[a，+∞）上单调递增，f（x）＞f（a）=a2+1．所以，当时，，f（x）的最小值为．当时，，f（x）的最小值为． 当时，f（x）的最小值为与中小者．所以，当时，f（x）的最小值为；当时，f（x）的最小值为综上，当a＜0时，f（x）的最小值为；当a≥0时，f（x）的最小值为．27．（10分）若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）+f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“T函数”．（Ⅰ）试判断函数与f2（x）=lg（x+1）是否是“T函数”，并说明理由；（Ⅱ）设f（x）为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0；（Ⅲ）试写出一个“T函数”f（x），满足f（1）=1，且使集合{y|y=f（x），0≤x≤1}中元素的个数最少．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）对于函数，当s，t∈[0，+∞）时，都有f1（s）≥0，f1（t）≥0，又，所以f1（s）+f1（t）≤f1（s+t）．所以是“T函数”．对于函数f2（x）=lg（x+1），当s=t=2时，f2（s）+f2（t）=lg9，f2（s+t）=lg5，因为lg9＞lg5，所以f2（s）+f2（t）＞f2（s+t）．所以f2（x）=lg（x+1）不是“T函数”．（Ⅱ）设x1，x2∈[0，+∞），x2＞x1，x2=x1+△x，△x＞0．则f（x2）﹣f（x1）=f（x1+△x）﹣f（x1）≥f（x1+△x﹣x1）=f（△x）≥0所以，对于x1，x2∈[0，+∞），x1＜x2，一定有f（x1）≤f（x2）．因为f（x）是“T函数”，x0∈[0，+∞），所以f（x0）≥0．若f（x0）＞x0，则f（f（x0））≥f（x0）＞x0，不符合题意．若f（x0）＜x0，则f（f（x0））≤f（x0）＜x0，不符合题意．所以f（x0）=x0．…（8分）（Ⅲ）（注：答案不唯一）