两类非线性微分方程的高精度格式的.研究

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1、第一章一类非线性抛物方程的高阶差分格式§1．1引言非线性抛物方程“。。=F(o，t，“，毗，“。)在粘性滞流体及热传导问题中有着非常重要的作用。众多学者对此类抛物方程的高阶差分格式表现了极大的兴趣．利用三点近似虬的方法，Jain，3ain，Mohanty[1】对带有Dirichlet边界条件的非线性抛物方程u。。=F(z，￡，u，ut，“。)提出局部截断误差为0(r2+h4)的两层隐格式，这种差分格式对线性方程是无条件稳定的，并且这种方法可推广到抛物方程组(见12])在文[3】中，Jain等人对带有非线性一阶偏导数项的二维抛物方程的Dirichle

2、t问题提出了局部截断误差为o(T2+h4)的两层隐格式。Mohanty与Jain[4】把这方法应用到带有变系数二维抛物方程组A($，封，t)百02Fu+2B(z，智，t)鲁杀+c(z，Ⅳ，t)百02≯u=“。，Y，t，u，u￡，u。，u”)Mohanty在文(5j中对三维抛物方程钍。。+丑(茁)“。y十G(z．g)u；：=u￡+D(z)豇。+E(x，可)“Ⅳ十G(。，Y，z．t)的Dirichlet问题提出了的局部截断误差为D(r2+h4)的差分格式．孙志忠在文【61中证明了线性变系数方程r(o，t)ut一毗。一b(x，c)u。+c(x，t)“=，

3、(z，t)的Dirichlet问题的高阶差分格式是无条件稳定的，差分解按L。。一范数以O(r2+h4)收敛．在文[7]中，通过复化辛h生公式近似积分边界，作者对带有非局部边界条件的线性常系数抛物方程构造了局部截断误差为0(r2+h4)的差分格式，并且它是无条件稳定的，差分解按Loo一范数以O(r2+h4)收敛．但目前为止，关于非线性方程的高阶差分格式的理论分析还没见到。本章给出文【1]中的高阶差分格式解的存在性，唯一性，收敛性。考虑：¨zz=F(x，t，u，u￡，uz)，0

4、)=钒(￡)，珏(1，t)=魄({)，0

5、6)一目(z，t，u(z，t)+∈：，Ut(x，t)+f；，u。(。，t)+f；)取步长h=-5，r=斋，M，Ⅳ为正整数．记t。+≥={(t。+￡。+1)。用网格n^×n，覆盖[o，1】×【o，丁]，n^={磁j。：=ih，0≤。≤^玎)。nr=ftnl￡n=nr，0s竹兰N)．设u=fu≯Jo兰tSM，0墨冗兰Ⅳ)是n^xn，上的网格函数。引进记号：2g一∈。∑㈤L<一—茎————重L玉一茎亟圭望些迨塞3u?一’=；(u?十“?一1)，6。u2；=i1、。：n—u巴1)，魂u?一。=÷(“?一u；。1)，品。u?=矗(“苒。一“0。)，n。zu?

6、=矗(一3，z?+4u耳·一“肆2)，d。。“?=矗(3u≯一4“卫，+“卫。)，鹾u?=古(u耳·一z叼+un_。)，IM{II=√i匹ii乒j{i蚤ii五两

7、

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9、

10、=～／ij三!A‘!--i嘲In2。，il峨ll。。：”t。。。!。!。I。?1．Jain与Mohanty[1】对(1．1)构造如下差分格式：《u?一}=壶p(xl-z,t．_}，“三5，吼葛‘，6+。。“三})十F(珥∥。一{，。墨。，最。品}，J。。墨})+10F0“n一}，“?一，跏?一，‰“?一一嘉(F(z州，。}，“品5，文。鬲}，d。。墨{)一F(犯一。砖“i”-

11、一I，盈“i”-～I，4捌一i-15)))j，1sis吖-I,Isn!Ⅳ，u?=妒(g。)，0≤i≤M，“g=tbt(tn)，“备=,b2(t。)，1≤nSN(1．21)(1．2．2)(1．23)。一烹章!垫!耋!o：孳二节，将介绍带有齐次狄立克莱边界的误差方程，并证明(1．2)解的存在性．妻三芝I。利曼至鍪鲁譬为列对皂占优矩阵来证明(1，2)解的唯一性．随后，给出差套碡在工二：丢薮下的收敛性．第四节给出一个数据例子验证理论结果．～‘§1．2差分解的存在性一，．耋2之翟粤(1·≥箩的存在性，可通过误差方程组解的存在性来得到．为避免繁复的数学表达式在

12、以后的叙述中，我们考虑F只依赖啦，u。的情况，此时(1．2)可写成：。⋯⋯一⋯～。硭uy±=壶p(跏三5^。娥n一-i)+