两类低秩图刻画

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1、摘要谱图理论是图论的一个重要分支，它主要利用图的谱性质来研究图的结构性质．图的秩或零维数问题是近年来谱图理论领域的热点之一，它定义为图对应的邻接矩阵的零特征值的重数．在量子化学领域，EricllH6ckd在处理一类特殊的有机分子．不饱和共轭碳氢化合物时。提出了H讧ckdMolecularOrbital理论，即mdO理论f14】．该理论下体现了不饱和碳氢化合物的化学稳定性与该分子结构图的零维数之间的关系，由此拉开了人们考察研究零维数的序幕．1957年，Conatz-与Sinogowits[S]提出刻画所有奇异图的问题，将图的零维数问题带到了数学领域．如今，图的秩或零维数问题依然是

2、谱图理论的热点之一，除了决定一个图类的零维数集外，也有一些结果刻画了满足给定秩或零维数的图．例如我们已经知道，一个图为完全二部图当且仅当它的秩为2，一个图为完全三部图当且仅当它的秩为316]．因此我们感兴趣的问题就是刻画给定秩是的图类，GerardJ．Chang，Liang-HaoHuang，Hong-GwaYeh[4，51等人近期的工作已经决定了秩为4或5的图类，因此一个自然的问题就是刻画秩为6的图．目前来看，该问题仅在一些特殊情形下取得了进展，例如范益政等人f17】刻画了秩为6的正则二部图．本文的第一章将介绍谱图理论与零维数问题的研究背景，并给出本文涉及到的概念与记号．我们

3、还将介绍零维数问题的研究进展和基本的研究方法，一些基本的结论和方法还将被用于主要内容的证明中中．第二章是本文的主要内容，我们将刻画秩为6的所有不含三角形的连通简约图．第三章中，我们还将利用本文的主要定理和方法，给出秩为6或7的单圈图的刻画，作为本文主要内容的应用和补充．关键诃：谱图理论；零维数；秩；简约图IlABSTRACTSpectralgraphtheoryisallimportantbranchingraphtheory,whichmainlycharacter-izesthestructuralpropertyofgraphsbyusingtheirspectra]pr

4、operty．Thenullityorl'sJlkproblemsofgraphsarehotissuesofspectralgraphtheoryinrecentyears．Thenullityofagraphisdefinedasthemultiplicationofzeroeigenvalueofitsadjacentmatrix．Inquantumchemistry,whenErichHfickeldealtwithaclassofspecialorganicmolecules—unsaturatedhydrocarbon，heposedHiickelMolecular

5、Orbitaltheory,orHMOtheory[14]．Thistheoryrevealstheconnectionbetweenthechemicalstabilityofunsaturatedhydrocarbonandthenumtyofitsmolecularstructuralgraph，whichopensadoorofstudyingnumtyofgraphs．In1957，CollatzandSinogowitz[8]posedtheproblemofcharacterizingallsingulargraphs，itbecalneahotissueinma

6、thematicssincethen．Nowthenullityorrankproblemsarestillattractingmuchattention．Exceptthede-terminationofnullitysetforcertaingraphs．therearestillseveralworkcharacterizingthegraphswithgivenr8nl【ornullity．Forinstance，itisknownthatagraphiscompletebipartiteifandonlyifitsrankis2，andagraphiscomplete

7、tripartiteifandonlyifitsranl【is316】．Thusweareinterestedincharacterizingthegraphswithgivenrankk．GerardJ．Chang，Liang-HaoHuang，andHong-GwaYeh[4，5】recentlyhavecharacterizedallreducedgraphswithrank4or5．Soitisanaturalproblemofcharacterizingallreducedgrap