刚性常微分方程系统的几类高效数值算法及应用

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1、华中科技大学博士学位论文摘要本文就常微刚性问题，构建了几类新的数值方法，介绍了这些数值方法的构造思路，深入地讨论了方法的稳定性及其收敛性，并进行了大量的数值实验。数值实验表明这些新方法对于解决常微刚性问题的计算是十分有效的。本文对于全文的立论，研究目的及其意义进行了论述。对于常微剐性问题的研究历史和发展现状进行了综述。同时，介绍了本文的主要工作和所取得的结果。／众所周知，隐式Euler方法具有稳定性态好，计算格式简单等特点，但其计算精度较低(1阶精度)。本文在隐式Euler方法的基础上构造了一种非线性多步法，即Schur积多步方法。该方法在继承隐式Euler方法稳定性好和计算格式简单

2、等良好性质的同时，提高了方法的计算精度(可达任意阶)。与此同时，对Schur积多步方法的稳定性和收敛性进行了深入讨论。为解决刚性问题中导函数项的“病态性”(导函数中同时含有较大参数和较小参数)，本文提出了一种改进的Schur积多步法，数值实验表明，／该方法能很好地抑制误差的急剧累积，与原方法相比，计算精度得到较大提高。／本文讨论了刚性常微方程的非刚性转化方法，在此基础上，获得一类广义Schur积多步法(通过这种非刚性转化方式，显式Euler方法将成为一个A．稳定的方法)。为解决目前常用算法在刚性问题的快变阶段中只适合取小的积分步长(为了精度上的考虑)的这一缺陷，基于线性微分方程解的结

3、构，本文提出了一种指数拟合多步方法，该方法的构造可以在传统线性方法的基础上加以构造，构造过程十分简单。数值实验表明，该方法与传统方法相比，在同等步长下．方法的计算精度远远高于传统方法。另外，本文将此类指数拟合方法与Schur积多步方法结合起来，构造了一类指数拟合Schur积多步方法。本文利用指数拟合方法的构造思路，将指数拟合方法推广到单步显式Runge-Kutta法上，获得一类指数拟合的显式Runge-Kutta方法。睬用类似Runge-Kutta方法的构造思路，构造了一类隐式单步多级和单步多级多导数方法，并在此基础上，结合指数拟合方法，构造了与之相应的单步多级和单步多级多导数指数拟

4、合法。由于单步多级多导数方法利用高阶导数信息，从而降低了计算规模。华中科技大学博士学位论文该类方法特别适于常微刚性方程以及剐性延迟微分方程的数值计算，本文利用单步多级多导数方法对常延迟微分系统进行了数值实验，实验表明该方法具有稳定性好，计算精度高，计算规模小等特点。本文采用Schur积多步法的构造思想，对显式Euler方法进行改造，获得一类显式的非线性多步法。对这类显式方法的稳定性和收敛性进行了讨论，获得该类方法为爿r稳定的代数条件。最后本文讨论了区间矩阵的Schur稳定性，由于一个数学模型描述～个系统往往是近似的，故我们考虑用迭代法解不确定线性方程组的Robust收敛性问题，得到了

5、一系列Robust收敛性和Robust发散性的代数判据。这些结果，正好也对应离散动力系统的Robust渐近稳定性和Robust／稳,定性，故无论是对于计算数学，还是离散动力系统的稳定性都是很有意义的。＼／1关键诃：Schur积多步法，指数拟合方法，稳定性，收敛性，Robust／参彩笔一穰／．妞化∥÷II华中科技大学博士学位论文AbstractThisdissertationconstructsafewclassesofnewnighericalmethodsforsfiffODEs，andintroducestheconstructionofthewayofthinkingofthe

6、semethods，deepdiscussedthestabilityandconvergenceofthesemethods，andthelargequantitiesnumericalexperimentsaretested．Thenumericalresultsofexperimentsshowthesenumericalmethodsareveryavailableforsti_匿ODEs．Theargumentation，aimandmeaningoftheresearchareclarified．Asurveyispresentedonthehistoryandthede

7、velopmentofstifrODEs．Themainworkofthewholedissertationisintroducedinthischapter．Knowtoall，theimplicitEulermethodpossessesexcellentstability,simplestcomputationalmanner,butthismethodhasloweraccuracy．Anewnonlinearmultistepmethodisco