高振荡常微分方程的高效数值方法.pdf

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1、EFFICIENTNUMERICALMETHODSFORHIGHI，yOSCILL』如roRYDIFFERENTIALEQUATIONSByXiaodongZHOUSupervisedbyAssociateProfessorXiongYoUAThesisSubmittedToNanjingAgricultureUniversityInPartialFulfillmentofTheRequirementsForTheMasterDegreeNovember，2012原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独

2、立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者(需亲笔)签名：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权南京农业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编

3、学位论文。保密口，在——年解密后适用本授权书。本学位论文属于不保密口。(请在以上方框内打“~／")学位论文作者(需亲笔)签名：导师(需亲笔)签名：年月日年月日摘要高振荡常微分方程的高效数值方法摘要高振荡微分方程大量存在于天文学、量子力学、生物化学、分子动力学、生物学等领域．由于大部分振荡微分方程的解析解难以得到，所以对其数值解法的研究显得尤为重要．虽然对于微分方程数值解的研究已经有了丰富的成果，如Runge-Kutta方法，NystrSm方法和线性多步法等，但是这些基于Taylor级数分析的传统方法并不能有效地求解高振荡问题．最

4、近lo多年来数值分析学家们已经对高振荡数值积分以及高振荡微分方程数值解做了大量的研究，形成了一系列的理论和方法．已经被证明为有效的方法主要有：渐近方法，Filon．型方法，Levin-型方法，最速下降法等．本文前人工作的基础上，发展了若干新方法和新技巧．本文分为四章．作为本文工作的起点，第一章概述了现有的理论结果以及数值方法．主要包括：求解高振荡积分的渐近方法(asymptoticmethod)，Filon一型方法(Filon—typemethod)以及Levin一型方法(Levin—typemethod)；求解线性高振荡微分方

5、程的渐近方法(asymptoticmethod)和Filon一型方法；求解非线性高振荡微分方程的波形松弛Filon-型方法(wave-formrelaxationFilon—typemethod)；指数拟合方法的误差分析．第二章建立了求解一阶振荡微分方程Y7=／(x，Y)初值问题的三角配置法．基本思想是用三角多项式来逼近振荡微分方程的解．首先证明了三角配置多项式等价于一类Runge-Kutta方法，并导出系数表达式，其形式与传统的配置法类似．然后导出了三点三角配置法的系数，分析了相应的误差．实验结果表明新的三角配置法优于传统的方

6、法，包括Matlab软件包中求解微分方程的方法odell3．第三章对线性高振荡微分方程组提出了基于绝热变换的复节点Filon一型方法．首先通过变换将高振荡微分方程yr(z)=A。y(z)+f(x)转化成一个非高振荡的一阶微分方程组叩7x)=exp(一i≯(z))Q-1f(x)并在区间Ix。，Xn+1】上积分．对Q-1f(x)的不同分量，在区间端点附近选取不同的节点，在选取的节点上分别作各个分量的Hermite插值多项式，在积分式中以插值多项式代替原函数精确积分．二阶高振荡微分方程组YⅣ+u2Y=I(x)的初值问题等价地转换成一阶

7、初值问题求解．实验结果表明我们的方法优于传统的Filon一型方法．第四章对二阶高振荡微分方程组考虑两步Levin一型方法．通过常数变易法给出方程高振荡常微分方程的高效数值方法的解在连续三个时间点处值的关系，将问题转化为一个高振荡积分．我们首先用Levin-型方法求解这个高振荡积分，继而导出了求解微分方程的数值格式，并给出了相应的误差分析．最后简要地总结了对本文的主要工作，并提出了未来研究的课题．关键词：高振荡，Filon一型方法，三角配置，Levin-型方法ABSTRACTEFFICIENTNUMERICALMETHODSFoR

8、HIGHI，yOSCILLATORYDIFFERENTIALEQUATIONSHighlyoscillatorydifferentialequationsariseinappliedfieldssuchasastronomy,quan-tummechanics，