资源描述：
《高三数学（理科）一轮复习§8.6 空间向量及其运算（教案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、响水二中高三数学（理）一轮复习教案第八编立体几何主备人张灵芝总第40期§8.6空间向量及其运算基础自测1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若=x+y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则=x+y.其中真命题的个数是.答案22.下列是真命题的命题序号是.①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量②若
2、a
3、=
4、b
5、，则a，b的长度相等而方向相同或相反③若向量，满足
6、
7、＞
8、
9、，且与同向，则＞④若两个非零向量与满足+=0，则∥
10、答案④3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则x=,y=.答案-4.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是.答案5.在四面体O-ABC中，=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则=(用a,b,c表示).答案a+b+c例题精讲例1如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）+.解（1）∵P是C
11、1D1的中点，∴=++=a++=a+c+=a+c+b.255（2）∵N是BC的中点，∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.（3）∵M是AA1的中点，∴=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c，又=+=+=+=c+a，∴+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD∥平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=（+++）.证明（1）连接BG，则=+=+（+
12、）=++=+，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.（2）因为=-=-=（-）=，所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由（2）知=，同理=，所以=，即EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.故=（+）=+=[（+）]+[（+）]=（+++）.例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求
13、MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.（1）证明设=p,=q，=r.由题意可知：
14、p
15、=
16、q
17、=
18、r
19、=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.=-=（+）-=（q+r-p），255∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.（2）解由（1）可知=（q+r-p）∴
20、
21、2=2=（q+r-p）2=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）=×2a2=.∴
22、
23、=a,∴MN的长
24、为a.(3)解设向量与的夹角为.∵=(+)=(q+r),=-=q-p,∴·=（q+r）·（q-p）=（q2-q·p+r·q-r·p）=(a2-a2·cos60°+a2·cos60°-a2·cos60°)=（a2-+-）=.又∵
25、
26、=
27、
28、=，∴·=
29、
30、·
31、
32、·cos=··cos=.∴cos=，∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.例4（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a·x=-18的向量x的坐标；（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3
33、），求点P的坐标使得=（-）；（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；③确定，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.解（1）∵x与a共线，故可设x=ka，由a·x=-18得a·ka=k
34、a
35、2=k（）2=9k，∴9k=-18，故k=-2.∴x=-2a=（-4，2，-4）.（2）设P（x，y，z），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1），∵=（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6
36、，3，-4）=(3，，-2)∴，解得∴P点坐标为(5，，0).255（3）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.②∵
37、a
38、==5,
39、b
40、==,∴cos〈a,b〉===-.∴a与b夹角的余弦值为-.③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.依题意即故解得.巩固练习1.已知六
