北京市朝阳区高三一模理科数学试题及答案

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1、北京市朝阳区高三一模理科数学试题及答案一、选择题（共5小题；共25分）1.若集合A=x3+2x−x2>0，集合B=x2x<2，则A∩B等于  A.1,3B.−∞,−1C.−1,1D.−3,12.已知平面向量a，b满足：a=b=2，a+2b⋅a−b=−2，则a与b的夹角为______A.π6B.π3C.2π3D.5π63.如图，设区域D=x,y0≤x≤1,0≤y≤1，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M=x,y0≤x≤1,0≤y≤x3的概率为______A.14B.13C.25D.274.在△ABC中，A=π4，BC=2，则“AC=3

2、”是“B=π3”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为______A.−10B.−3C.4D.5二、填空题（共1小题；共5分）第7页（共7页）6.双曲线x2−y2b2=1b>0的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b=______；此双曲线的离心率为______．三、解答题（共2小题；共26分）7.已知函数fx=2sinπ−x⋅cosx+sin2x−cos2x，x∈R．（1）求fπ2的值及函数fx的最小正周期；（2）求函数fx在0,π上的单调减区间．8.已知函数fx=12ax2−lnx，a

3、∈R．（1）求函数fx的单调区间；（2）若函数fx在区间1,e的最小值为1，求a的值．四、选择题（共3小题；共15分）9.复数z=i2+i在复平面内对应的点位于______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知函数fx=sinxx2+1．下列命题：①函数fx的图象关于原点对称；②函数fx是周期函数；③当x=π2时，函数fx取最大值；④函数fx的图象与函数y=1x的图象没有公共点，其中正确命题的序号是______A.①③B.②③C.①④D.②④11.直线y=x+m与圆x2+y2=16交于不同的两点M，N，且MN≥3OM+ON，其中O是坐标原点，则实数m的

4、取值范围是______A.−22,−2∪2,22B.−42,−22∪22,42C.−2,2D.−22,22五、填空题（共4小题；共20分）12.在各项均为正数的等比数列an中，a1=2，a2+a3=12，则该数列的前4项和为______．13.在极坐标系中，A为曲线ρ=2cosθ上的点，B为曲线ρcosθ=4上的点，则线段AB长度的最小值是______．14.某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______；表面积为______．第7页（共7页）15.有标号分别为1、2、3的红色卡片3张，标号分别为1、2、3的蓝色卡片3张．现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（

5、如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为______．（用数字作答）六、解答题（共2小题；共26分）16.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0经过点1,32，离心率为32．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=kx−1k≠0与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与BM分别与y轴交于点P、Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．17.从1,2,3,⋯,n中这n个数中取mm,n∈N*,3≤m≤n个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为fn,m．（1）当n=5，m=3时，写出所有可能的

6、递增等差数列及f5,3的值；（2）求f100,10；（3）求证：fn,m>n−mn+12m−1．七、填空题（共1小题；共5分）18.如图，在四棱锥S−ABCD中，SB⊥底面 ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1,AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90∘的点E的个数是______．第7页（共7页）第7页（共7页）答案第一部分1.C2.B3.A4.B5.A第二部分6.2；5第三部分7.（1）fx=sin2x−cos2x=2sin2x−π4．fπ2=2sin2⋅π2−π4=2⋅22=1．函数fx的最小正周期为π．    （2

7、）令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2得kπ+38π≤x≤kπ+78π,k∈Z.又因为x∈0,π，所以x∈3π8,7π8．函数fx在0,π上的单调减区间为3π8,7π8．8.（1）求导，得fʹx=ax−1x=ax2−1x．（1）当a=0时，fʹx=−1x<0，故函数fx在0,+∞上单调递减．（2）当a<0时，fʹx<0恒成立，所以函数fx在0,+∞上单调递减．（3）当a>0时，令fʹx=0，又因为x>0，解得x=1a．①当x∈0,1a时，fʹx<0，所以函数fx在0,1a单调递减．②当x∈1a,+∞时，fʹx>0，所以函