北京市石景山高三一模理科数学试题及答案

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1、北京市石景山高三一模理科数学试题及答案一、选择题（共3小题；共15分）1.在x2−1x5的展开式中，x的系数为______A.10B.−10C.20D.−202.如图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是______A.612B.33C.64D.363.已知动点Px,y在椭圆C:x225+y216=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足MF=1且MP⋅MF=0，则PM的最小值为______A.3B.3C.125D.1二、解答题（共2小题；共26分）4.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边

2、长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求二面角A1−BD−A的大小；（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．5.设函数fx=x2+ax−lnxa∈R．（1）若a=1，求函数fx的单调区间；（2）若函数fx在区间0,1上是减函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点O作曲线y=fx的切线，证明：切点的横坐标为1．三、选择题（共5小题；共25分）第8页（共8页）6.已知全集U=R，集合A=x∣x2−2x<0，B=x∣x−1≥0，那么A∩  ∁  UB=__

3、____A.x∣02D.x∣10上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为______A.2B.8C.3D.410.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______A.−2B.12C

4、.−1D.2四、填空题（共5小题；共25分）11.已知命题p：∃x∈R,ex<0，则¬p是______．12.在等比数列an中，a1=2，a4=16，则数列an的通项公式an=______，设bn=log2an，则数列bn的前n项和Sn=______．13.已知圆C的极坐标方程为ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为______，若直线l:kx+y+3=0与圆C相切，则实数k的值为______．14.已知变量x,y满足约束条件x−y+2≤0,x≥1,x+y−7≤0,则yx的取值范围是______．第8页（共8页）15

5、.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．五、解答题（共4小题；共52分）16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a

6、各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（ppm）01235567889135567《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望Eξ．18.给定椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F

7、2,0，其短轴上的一个端点到F的距离为3．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（ⅰ）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证：线段MN的长为定值．19.对于数列an，把a1作为新数列bn的第一项，把ai或−ai（i=2,3,4,⋯,n）作为新数列bn的第i项，数列bn称为数列an的一个生成数列．例如，数列1,2,3,4,5的一个生成数列是1,−2,−3,4,5．已知数列bn为数列12nn∈N*的生成数列，Sn为数列bn的前n项和

8、．（1）写出S3的所有可能值；（2）若