2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期末试卷

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1、2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1.已知i为虚数单位，则5i1−2i=  A.2+iB.−2+iC.2−iD.−2−i2.在极坐标系Ox中，方程ρ=2sinθ表示的圆为  A.B.C.D.3.执行如图所示的程序框图，输出的k值为  A.4B.5C.6D.74.设m是不为零的实数，则“m>0”是“方程x2m−y2m=1表示双曲线”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线x−y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值为  

2、A.32B.62C.32或−32D.62或−626.从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为  A.15B.25C.35D.45第14页（共14页）7.某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为16；②三棱锥的四个面全是直角三角形；③三棱锥四个面的面积中最大的值是32．所有正确的说法是  A.①B.①②C.②③D.①③8.已知点F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是  A.使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B

3、.使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C.使得∠MKF=π4的点M有且仅有4个D.使得∠MKF=π6的点M有且仅有4个二、填空题（共6小题；共30分）9.点2,0到双曲线x24−y2=1的渐近线的距离是 ．10.已知公差为1的等差数列an中，a1，a2，a4成等比数列，则an的前100项的和为 ．11.设抛物线C:y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则OA+OB= ．12.已知5x−1n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n= ．13.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为42，

4、M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上．若PM=1，则PQ长度的最小值为 ．14.对任意实数k，定义集合Dk=x,yx−y+2≥0,x+y−2≤0,x,y∈Rkx−y≤0．①若集合Dk表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是 ；②当k=0时，若对任意的x,y∈D0，有y≥ax+3−1恒成立，且存在x,y∈D0，使得x−y≤a成立，则实数a的取值范围为 ．第14页（共14页）三、解答题（共6小题；共78分）15.如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3DC，AB=7，∠ADB=π3，∠C=π6．（1）求DC的值；（2）求tan∠A

5、BC的值．16.据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席．其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021（1）从品牌A的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（2）在1

6、2次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望EX；（3）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．17.如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，使A1E=A1D如图2．（1）求证：平面A1ED⊥平面BCDE；（2）求A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（3）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较

7、三棱锥M−A1CD和三棱锥N−A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．18.已知椭圆C:x2+2y2=9，点P2,0．（1）求椭圆C的短轴长与离心率；（2）过1,0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设MN的中点为T，判断∣TP∣与∣TM∣的大小，并证明你的结论．19.已知函数fx=2ex−ax2−2x−2．第14页（共14页）（1）求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；（2）当a≤0时，求证：函数fx有且只有一个零点；（3）当a>0时，写出函数fx的零点的个数．（只需写出结论）20.无穷数列an满足：a1为正整数，且对任意正整数n，an+1为前n项a1，a

8、2，⋯，a