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1、2015年山东省青岛市高三文科上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.已知集合A=xy=lnx−3，B=xy=x−2，则∁RA∩B等于 A.2,3B.3,+∞C.2,3D.0,32.设复数z1=1−2i，z2=1+i，则复数z=z1z2在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a=1,2，a⋅b=5，∣a−b∣=25，则∣b∣等于 A.5B.25C.5D.254.已知圆O1:x2+y−12=4，圆O2:x2+y2−2x+4y
2、−4=0，则圆O1和圆O2的位置关系是 A.相交B.相离C.外切D.内含5.阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为 A.32B.0C.3D.−326.设a>0，b>0，若2是2a与2b的等比中项，则1a+1b的最小值为 A.8B.4C.2D.17.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一个实轴端点恰与抛物线y2=−4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为 A.x24−y212=1B.x212−y24=1C.x23−y21=1D.x2−y23=18.在△ABC中，角A，B，C所对
3、的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，AC⋅AB=4，则△ABC的面积等于 A.3B.43C.4D.239.已知命题p:∃x∈R,mx2+1<1；q:∀x∈R,x2+mx+1≥0，若p∨¬q为假命题，则实数m的取值范围是 A.−∞,0∪2,+∞B.0,2C.2,+∞D.−2,0第10页（共10页）10.已知函数fx=kx+2,x≤0lnx,x>0，若k>0，则函数y=fx−1的零点个数是 A.1B.2C.3D.4二、填空题（共5小题；共25分）11.某班有男同学27人，女同学18人，
4、若用分层抽样的方法从该班全体同学中抽取一个容量为20的样本，则抽取女同学的人数为 ．12.若a=354，b=353，c=log335，则a，b，c三者的大小关系为 ．（用<表示）13.已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm），可得这个几何体的体积是 cm3．14.已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2pxp>0的准线相切，则p= ．15.已知O是坐标原点，点A的坐标为2,1，若点Bx,y为平面区域x+y≤4,x≥1,y≥x,上的一个动点，则z=OA⋅OB的最大值是 ．三、解答
5、题（共6小题；共78分）16.已知函数fx=3sinωx−cosωx⋅cosωx+12（其中ω>0），若fx的一条对称轴离最近的对称中心的距离为π4．（1）求y=fx的单调递增区间；（2）在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c满足2b−acosC=c⋅cosA，则fB恰是fx的最大值，试判断△ABC的形状．17.已知A−1,0，B0,2，动点Px,y，S△PAB=S．（1）若x∈−1,0,1,2，y∈−1,0,1，求S≤1的概率；（2）若x∈0,2，y∈0,2，求S≤1的概率；18.设数列a
6、n的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan−3nn−1n∈N*．（1）求数列an的通项公式an；（2）是否存在正整数n，使得S11+S22+S33+⋯+Snn−32n−12=2016?若存在，求出n值；若不存在，说明理由．第10页（共10页）19.四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2aa>0，AD∥BC，PD=3a，∠DAB=θ．（1）若θ=60∘，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；（2）若θ=90∘，AB=3a，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA∥平面DMN
7、．20.椭圆C的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，离心率与双曲线x2−y23=1离心率互为倒数，且过3,−32点，设E，F分别为椭圆的左右焦点．（1）求出椭圆方程；（2）一条纵截距为2的直线l1与椭圆C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；（3）直线l2:x=ty+1与曲线C交于A，B两点，试问：当t变化时，是否存在一条直线l2，使△ABE的面积为23?若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数fx=alnx+x2+bx（a为实常数）（1）若a=−2，b=−3，求
8、证：fx在e,+∞上为单调增函数；（2）若b=0，且a>−2e2，求函数fx在1,e上的最小值及相应的x值；（3）设b=0，若存在x∈1,e，使得fx≤a+2x成立，求实数a的取值范围．第10页（共10页）答案第一部分1.C【解析】集合A=xy=lnx−3=xx>3=3,+∞，所以∁RA=−∞,3；B=xx≥2=2,+∞，所以∁RA∩B=2,3．2.C【解析】z=z1z2=1−2i1+i=1−2i1−i1+i1−i=−1−3i2，其在复平面内的对应点为−12,−32．
