2015届浙江省富阳中学高考适应性考试（二）数学(理)试题

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1、2015届浙江省富阳中学高考适应性考试（二）数学(理)试题一、选择题（共2小题；共10分）1.若将函数y=tanωx+π4ω>0的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y=tanωx+π6的图像重合，则ω的最小值为 ()A.16B.14C.13D.122.若x，y满足约束条件x+y≥1,x−y≥−1,2x−y≤2,目标函数z=ax+2y仅在点1,0处取得最小值，则a的取值范围是 ()A.−1,2B.−4,2C.−4,0D.−2,4二、解答题（共1小题；共13分）3.已知数列an的前n项和Sn=−an−12n−1+2（n为正整数）．（1）令bn=2nan，求证：数列bn是等差数列，并求数列a

2、n的通项公式；（2）令cn=n+1nan，Tn=c1+c2+⋯+cn，试比较Tn与5n2n+1的大小，并予以证明．第4页（共4页）答案第一部分1.D【解析】函数y=tanωx+π4向右平移π6个单位长度得函数y=tanωx−π6+π4．因为平移后的函数与函数y=tanωx+π6的图像重合．所以ωx−ωπ6+π4=kπ+ωx+π6k∈Z．当k=0求得ω的最下值．2.B【解析】如图，目标函数对应直线的斜率−a2∈−1,2，于是a∈−4,2．第二部分3.（1）在Sn=−an−12n−1+2中，令n=1，可得S1=−a1−1+2=a1,即a1=12.当n≥2时，Sn−1=−an−1−12n−2+

3、2.所以an=Sn−Sn−1=−an+an−1+12n−1,所以2an=an−1+12n−1,即2nan=2n−1an−1+1.因为bn=2nan，所以bn=bn−1+1,即当n≥2时，bn−bn−1=1．第4页（共4页）又b1=2a1=1，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列．于是bn=1+n−1⋅1=n=2nan,所以an=n2n.    （2）由（1）得cn=n+1nan=n+112n，所以Tn=2×12+3×122+4×123+⋯+n+1⋅12n, ⋯⋯①12Tn=2×122+3×123+⋯+n⋅12n+n+1⋅12n+1, ⋯⋯②由①−②得12Tn=1+122+123+⋯+

4、12n−n+1⋅12n+1=1+141−12n−11−12−n+112n+1=32−n+32n+1,所以Tn=3−n+32n.Tn−5n2n+1=3−n+32n−5n2n+1=n+32n−2n−12n2n+1.于是确定Tn与5n2n+1的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．由2<2×1+1; 22<2×2+1; 23>2×3+1; 24>2×4+1; 25>2×5+1; ⋯,可猜想当n≥3时，2n>2n+1．证明如下：证法1：①当n=3时，由上验算显然成立．②假设当n=kk≥3时，猜想成立，即2k>2k+1．当n=k+1时，2k+1=2⋅2k>22k+1=4k+2=2k+1+1+2k

5、−1>2k+1+1,所以，当n=k+1时，猜想也成立．综合①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n>2n+1．证法2：当n≥3时，第4页（共4页）2n=1+1n=Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn−1+Cnn≥Cn0+Cn1+Cnn−1+Cnn=2n+2>2n+1.综上所述，当n=1和n=2时，Tn<5n2n+1；当n≥3时，Tn>5n2n+1．第4页（共4页）