2015-2016学年武汉市汉阳区九上期中数学试卷

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2015-2016学年武汉市汉阳区九上期中数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1.将方程化为一元二次方程3x2−8x=10的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是  A.3，−8，−10B.3，−8，10C.3，8，−10D.−3，−8，−102.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为  A.x+12=6B.x+22=9C.x−12=6D.x−22=93.在下列四个图案中，不是中心对称图形的是  A.B.C.D.4.将二次函数y=x−12−2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为  A.1,3B.2,−1C.0,−1D.0,15.如图，在△ABC中，∠CAB=65∘，将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABʹCʹ的位置，使得CCʹ∥AB，则旋转角的度数为  A.35∘B.40∘C.50∘D.65∘ 6.如图，已知矩形的长为10 cm，宽为4 cm，则图中阴影部分的面积为  A.20 cm2B.15 cm2C.10 cm2D.25 cm27.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是  A.1+x2=1110B.1+x2=109C.1+2x=1110D.1+2x=1098.抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降2.5 m，水面宽度增加  A.1 mB.2 mC.3 mD.6 m9.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+b−1x+c的图象可能是  A.B. C.D.10.一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么1m是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1．正确的个数是  A.1B.2C.3D.4二、填空题（共6小题；共30分）11.若点A2,1与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为 ．12.一元二次方程x2−2x=0的解是 ．13.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是 ．14.二次函数y=−2x2−3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是 ． 15.在平面直角坐标系xOy中，对于点Px,y，我们把点Pʹ−y+1,x+1叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，⋯，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，An，⋯．若点A1的坐标为3,1，点A2015的坐标为 ．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE=AD，BF=BD，若DE=22，DF=4，则AB的长为 ．三、解答题（共8小题；共104分）17.已知关于x的方程x2+2x+a−2=0．（1）若方程有一根为x=1，求a的值；（2）若a=1，求方程的两根．18.四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE，AF，EF．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 ∘得到．（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．19.已知关于x的方程x2−2k−1x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=1−x1x2，求k的值．20.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−4,3，B−3,1，C−1,3. （1）请按下列要求画图.①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2.（2）在第1题中，所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出点M的坐标.21.如图，已知△ABC是等边三角形．（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60∘至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系； （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．22.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大?最大利润是多少元?（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．23.如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90∘，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α0<α≤180∘，记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为 ．（直接填写结果）24.如图，已知抛物线y=−x2+mx+m−2的顶点为A，且经过点B3,−3． （1）求顶点A的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB=45∘，求点P坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 答案第一部分1.A2.C【解析】将x2−2x−5=0移项得x2−2x=5，两边同时加1得x2−2x+1=5+1，即x−12=6．3.D4.B5.C【解析】∠ACCʹ=∠ACʹC=65∘，∠CACʹ=50∘．6.A【解析】根据题意观察题图可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质，得图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，故图中阴影部分的面积为12×40=20cm2．7.B8.B9.A【解析】∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+b−1x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+b−1x+c与x轴有两个交点，又∵−b2a>0，a>0，∴−b−12a=−b2a+12a>0，∴函数y=ax2+b−1x+c的对称轴x=−b−12a>0，∴A符合条件．10.C【解析】①两个方程的根的判别式都是Δ=b2−4ac，∵方程M有两个不相等的实数根，∴方程N有两个不相等的实数根，结论正确；②∵方程M的两根符号相同，且ac≠0，∴ca>0，∴ac>0，∴方程N有同号二实数根，结论正确；③∵m是方程M的一个根， ∴am2+bm+c=0，∴c1m2+b1m+a=0，1m是方程N的一个根，结论正确；④∵方程M和方程N有一个相同的根，∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，∴a−cx2=a−c，∵a≠c，∴a−c≠0，∴x2=1，∴x=±1，结论错误．∴①②③正确．第二部分11.−2,−112.x1=0，x2=213.7 m14.k<−9815.−3,1【解析】∵A13,1，∴A20,4，A3−3,1，A40,−2，A53,1，A60,4，⋯⋯，∵2015=4×503+3，∴A2015=A3．16.45【解析】如图，延长FD到G，使DG=FD=4，连接AG，EG，作EH⊥DF于点H， ∵点D是AB的中点，∴AD=BD，在△ADG和△BDF中，AD=BD,∠ADG=∠BDF,DG=DF,∴△ADE≌△BDF，∴∠GAD=∠B，∴AG∥BC．∵∠ACB=90∘，∴∠GAE=90∘．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADE=90∘−12∠DAE，同理，∠BDF=90∘−12∠B，∴∠EDF=180∘−∠ADE+∠BDF=180∘−180∘−12∠DAE+∠B=45∘,∴∠DEH=45∘，∴DH=EH=22DE=22×22=2，∴GH=6，∴EG=EH2+GH2=22+62=210． ∵AG=BF，AD=AE，BD=BF，AD=BD，∴AG=AE，∴AE=22EG=25，∴AD=25，∴AB=45．第三部分17.（1）将x=1代入方程得1+2+a−2=0，解得a=−1．      （2）将a=1代入方程得x2+2x−1=0，∵Δ=22−4×1×−1=8，∴x=−2±82×1=−1±2，∴x1=−1+2，x2=−1−2．18.（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90∘，而F是CB延长线上的点，∴∠ABF=90∘．在△ADE和△ABF中AD=AB,∠ADE=∠ABF,DE=BF,∴△ADE≌△ABFSAS．      （2）A；90      （3）∵BC=8，∴AD=8．在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE=AD2+DE2=10． ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90∘得到，∴AE=AF，∠EAF=90∘，∴△AEF的面积=12AE2=12×100=50.19.（1）∵Δ=b2−4ac=−2k−12−4×1×k2=−8k+4≥0，∴k≤12．      （2）∵x1+x2=2k−1，x1x2=k2，且x1+x2=1−x1x2，∴2k−1=1−k2，∴k1=1，k2=−3，∵k≤12，∴k=−3．20.（1）△A1B1C1和△A2B2C2即为所求．      （2）点M的坐标为2,1.21.（1）AB=AF+BD．      （2）如图（1），AB=AF−BD．       （3）如图（2），过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，∵DE=CE，∴∠CDE=∠ECD，又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，∴∠BED=∠GCE，在△BDE和△GEC中，BE=CG,∠BED=∠GCE,DE=CE,∴△BDE≌△GEC，∴BD=EG=AE，又∵AF=BE，∴AB=BE+AE=AF+BD．22.（1）w=20−x300+20x=−20x2+100x+6000,∵300+20x≤380，∴0≤x≤4，且x为整数．       （2）w=−20x2+100x+6000=−20x−522+6125,∵−20x−522≤0，∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，即当定价为57或58元时有最大利润6120元．      （3）不低于55元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．23.（1）在△ABD1和△ACE1中，AB=AC,∠BAD1=∠CAE1,AD1=AE1,∴△ABD1≌△ACE1，∴BD1=CE1．      （2）延长BA交D1E1于F，如图．由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠AD1B=∠AE1C，∴∠CE1D1+∠ED1A+∠AD1P=90∘，∴∠CPD1=90∘，∴∠CAD1=45∘，∴∠BAD1=135∘，∴∠D1AF=45∘=∠AD1E1，∴AF=D1F=12AD12+AE12=2，∵∠AFD1=90∘， ∴BD1=25+22，∴CE1=25+22．      （3）2+2324.（1）依题意−32+3m+m−2=−3，∴m=2，∴y=−x2+2x=−x−12+1，∴顶点A1,1．      （2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，∵∠PAB=45∘，∴BA=BQ，∵∠QBH+∠ABG=90∘，∠BAG+∠ABG=90∘，在△ABG和△BQH中，∠BAG=∠QBH,∠AGB=∠BHQ,BA=BQ,∴△ABG≌△BQH，∴∠BAG=∠QBH，∴AG=BH=2，BG=QH=4， ∴Q−1,−5．∴直线AP的解析式为y=3x−2，联立抛物线与直线AP，∴−x2+2x=3x−2，∴x1=1，x2=−2，∵P在对称轴左侧的抛物线上，∴P−2,−8．      （3）CD长度为定值．∵直线OA的解析式为y=x，∴可设新抛物线解析式为y=−x−a2+a，联立抛物线与直线OA，∴−x−a2+a=x，∴x1=a，x2=a−1，即C，D两点横坐标的差是常数1，∴CD=2．