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1、2014年上海文一、填空题（共14小题；共70分）1.函数y=1−cos22x的最小正周期是 ．2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则z+1z⋅z= ．3.设常数a∈R，函数fx=x−1+x2−a，若f2=1，则f1= ．4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽出20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为 ．6.若实
2、数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．9.设fx=−x+a,x≤0,x+1x,x>0,若f0是fx的最小值，则a的取值范围为 ．10.设无穷等比数列an的公比为q，若a1=limn→∞a3+a4+⋯+an，则q= ．11.若fx=x23−x−12，则满足fx<0的x取值范围是 ．12.方程sinx+3cosx=1在区间
3、0,2π上的所有解的和等于 ．13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表表示）．14.已知曲线C:x=−4−y2，直线l:x=6．若对于点Am,0，存在C上的点P和l上的点Q使得AP+AQ=0，则m的取值范围为 ．二、选择题（共4小题；共20分）15.设a,b∈R，则"a+b>4"是"a>2且b>2"的 ()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集
4、合a,b=a2,b2，则a+b= ()A.2B.1C.0D.−117.如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一边，Pii=1,2,⋯,7是小正方形的其余顶点，则AB⋅APi i=1,2,⋯,7的不同值的个数为 ()A.7B.5C.3D.118.P1a1,b1，P2a2,b2是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组a1x+b1y=1a2x+b2y=1的解的情况是 ()A.无论k,P1,P2如何，总是无解B.无论k,P1,P2如何，总有唯一解C.存在k,P1,P2，
5、使之恰有两解D.存在k,P1,P2，使之有无穷多解三、解答题（共5小题；共65分）19.底面边长为2的正三棱锥P−ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20.设常数a≥0，函数fx=2x+a2x−a．（1）若a=4，求函数y=fx的反函数y=f−1x；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=fx的奇偶性，并说明理由．21.如图，某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米．设点A,B在同一水平面上，从A和B看D的仰
6、角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向．若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）?（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得α=38.12∘,β=18.45∘，求CD的长（参考数据：sinα=0.617,cosα=0.787,sinβ=0.316,cosβ=0.787,sinα+β=0.835,sinα−β=0.949，结果精确到0.01米）22.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax+by+c=0和点P1x1,y1，P2x2,y2，记η=ax1+by1+cax2+by2+c
7、．若η<0，则称点P1，P2被直线l分隔．若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A1,2，B−1,0被直线x+y−1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2−4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q0,2的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．23.已知数列an满足13an≤an+1≤3an,n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）
8、若an是等比数列，且am=11000，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1,a2,⋯,a100成等差数列，求a1,a2,⋯,a100的公差的取值范围．答案第一部分1.π2【解析】y=1−cos22x=12−12cos4x．2.63.3【解析】a=4．4.x=−25.706.227.arcsin138.24【解析】由三视图可知，切割后的两个小长方体的长、宽、高
