2010年北京市东城区一模试题及答案（数学文）

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1、2010年北京市东城区一模试题及答案（数学文）一、选择题（共8小题；共40分）1.计算复数1−i1+i的结果为 ()A.−iB.iC.−1D.12.设集合A=1,2,4,6，B=2,3,5，则韦恩图中阴影部分表示的集合 ()A.2B.3,5C.1,4,6D.3,5,7,83.已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是 ()A.6+22B.6+2C.5+22D.5+24.已知变量x，y满足x≥1y≤2x−y≤0，则x+y的最小值为 ()A.2B.3C.4D.55.按如图所示的程序框图运算，若输入x=

2、6，则输出k的值是 ()第9页（共9页）A.3B.4C.5D.66.某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为 ()A.113B.19C.14D.127.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于 ()A.±2B.3C.2D.±38.已知函数fx是奇函数且是R上的增函数，若x，y满足不等式fx2−2x≤−fy2−2y，则x2+y2的最大值是 ()A.3B.22C.8D.12二、填空题（共6小题；

3、共30分）9.已知命题p：∀x∈1,+∞,log3x>0，则¬p为 ．10.经过点−2,3，且与直线2x+y−5=0垂直的直线方程为 ．11.设an是等比数列，若a1=1，a4=8，则公比q= ，数列an的前6项的和S6= ．12.海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10n mile，∠BAC=60∘，∠ABC=75∘，则B，C间的距离是 n mile．13.设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b，则向量b与a−b的夹角为 ．14.点P是椭圆x225+y216=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点

4、，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为 ．三、解答题（共6小题；共78分）第9页（共9页）15.设函数fx=3sinxcosx−cos2x．（1）求fx的最小正周期；（2）当x∈0,π2时，求函数fx的最大值和最小值．16.在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．（1）计算样本的平均成绩及方差；（2）在这10个个体中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．17.三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥ 平面 

5、ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC1=2AB．（1）求证：平面C1CD⊥平面ABC；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求三棱锥D−CBB1的体积．18.已知函数fx=lnx+axa∈R．（1）若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线x−y−1=0平行，求a的值；（2）求函数fx的单调区间和极值；（3）当a=1，且x≥1时，证明：fx≤1．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x−y+2=0相切．（1）求

6、椭圆C的方程；（2）设P4,0，M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20.已知数列an，bn，其中a1=12，数列an的前n项和Sn=n2ann∈N+，数列bn满足b1=2，bn+1=2bn．（1）求数列an，bn的通项公式；第9页（共9页）（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N+，n≥2，有1+1b1+1b2+⋯+1bn−1

7、满足cn=1nan,n为奇数bn,n为偶数，求数列cn的前n项和Tn．第9页（共9页）答案第一部分1.A2.B【解析】阴影部分表示∁UA∩B=3,5．3.C【解析】由三视图知该几何体为一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，它的表面积为1+1+2×2+2×12×1×1=5+22.4.A5.B【解析】x=6，k=0；x=13，k=1；x=27，k=2；x=55，k=3；x=111，k=4．x=111>100，跳出循环，输出k=4．6.B【解析】满足几何概型，概率为面积比π⋅22π⋅62=19.7.D【解析】抛物线

8、的准线为y=−1，将圆化为标准方程x+m22+y2=1+m24，圆心到直线的距离为1=1+m24，得m=±3．8.C【解析】由fx为奇函数得fx2−2x≤f2y−y2，又fx为增函数，有x2−2x≤2y−y2，即x−12+y−12≤2，它表示圆心在1,1，半径为2的圆的内部（包括边界），故到原点最远的点为2,2，从而x2+y2max=8．第二部分9.∃x0∈1,+∞,log3x0≤010.x−2y+8=011.2