太原市数学中考《第二十章圆》知识点聚焦.docx

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1、第二十章　圆考情分析高频考点考查频率所占分值1.垂径定理★★★12～20分2.圆心角、弧、弦之间的关系★3.圆周角定理★★4.圆内接四边形★5.三角形的外接圆与内切圆★★6.切线的判定及性质★★★7.切线长及切线长定理★8.正多边形的有关计算★9.弧长及扇形面积公式★★★10.圆锥的侧面积及全面积★★知能图谱第47讲　圆的有关概念及性质知识能力解读知能解读（一）圆的概念1　概念（1）在描述性定义：如图所示，在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆。其固定的端点叫作圆心，线段叫作半径。（2）集合性定义：圆

2、心为、半径为的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合。2　圆的表示方法以点为圆心的圆，记作，读作“圆”。3　圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。点拨（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。记忆口诀：圆有两要素，半径和圆心；半径定大小，圆心定位置。知

3、能解读（二）圆的有关概念名称概念注意图示弦连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦”直径是圆中最长的弦不一定是直径直径经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径”但弦不一定是直径弧、半圆、劣孤、优弧圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中半圆是弧，但弧不一定是半圆等圆能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关

4、等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤长度相等的孤不一定是等孤知能解读（三）圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。知能解读（四）垂直定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所

5、示，是的直径，是的弦，交于点，若，则注意（1）垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。如图1-47-2，是非直径的弦，是直径，若则。注意垂径定理的推论中，被平分的弦不能是直径，如果弦是直径，两直径互相平分，结论就不成立，如图所示，直径平分直径，但不垂直于。（1）垂直定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据。（2）一条直线如果具有：

6、①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（被平分的弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五条中的任意两条，那么必然具备其余三条。知能解读（五）圆心角的定义及与弧、弦之间的关系1　圆心角的定义顶点在圆心的角叫作圆心角。2.弧、弦、圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如图所示，在⊙中，若，则有，。（2）推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。（3）推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。以上

7、三个关系可总结为：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。注意圆心角的度数等于它所对弧的度数，不能说圆心角等于它所对的弧。知能解读（六）圆周角的定义及性质1.圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。圆周角具备两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边在圆内部的线段都是圆的弦。2.圆周角定理及推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（3）推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。点拨（

8、1）若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们一般不相等。（2）推论2给出了圆中一种常见的作辅助线的方法：若有直径，通常作直径所对的圆周角；反过来，若有的圆周