偏微分方程反问题数值解及应用.doc

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1、2017年高等学校科学研究优秀成果奖（科学技术）推荐项目公示材料1、项目名称：偏微分方程反问题数值解及应用2、推荐奖种：自然奖3、推荐单位:东南大学4、项目简介:本项目研究偏微分方程反问题的数学理论和数值求解方法及应用。问题的数学刻画是由偏微分方程定解系统解的附加信息去反演系统中的未知成份，其本质困难在于问题的不适定性和非线性性，需要针对具体问题建立相应的正则化方法以得到稳定的数值解。问题的应用背景是由介质的可间接测量信息借助于相应的物理规律去探测介质内部(边界)的未知信息。课题组从上世纪90年代开始本项目的研究。近20年来依托多项国家自然科学基金、教育部博士点基金，对椭圆方程

2、、抛物方程、双曲方程等三类偏微分方程的反问题，开展了正则化解的构造、正则化参数选取策略、近似解误差估计、有效算法实现、在介质检测和图像处理中的应用等五个方面的研究，形成了从理论到算法、再到应用的一个系统的研究体系。研究工作取得了一系列重要科学发现:(1)对Helmholtz方程带有斜导数边界条件的一类全新的边值问题，建立了正问题解的适定性以及解对波数的解析性，发现了带有斜导数边界的散射体的散射场的共轭互易原理，提出了确定散射场的边界积分方程方法，建立了散射体边界反演的有效求解方法；(2)对Helmholtz方程、Maxwell方程组的带有阻尼边界、混合边界条件的逆散射问题，系统

3、建立了线性抽样法、优化方法重建散射体内部参数和边界性态的正则化方法，给出了有效的数值实现；(3)对描述核磁共振电阻抗成像的散度型椭圆方程的系数反问题，基于生物组织内部电流、磁场、电导率三者之间的关系，建立了利用不完全磁场数据反演生物组织电导率的迭代算法的收敛性理论,给出了迭代解的误差估计；(4)对波动方程系数反问题，基于特征展开证明了方程间断系数反演的唯一性；对抛物-双曲耦合系统的两类反问题，基于Carlemann估计建立了反问题解的唯一性、Lipschitz(Holder)稳定性；(5)提出了时间分数阶导数逆时扩散的图像去噪新模型，以带有Bregmann距离的目标泛函的极小元

4、构造了正则化解，显式给出了正则化参数、迭代次数与噪声水平的关系，建立了近似解的误差估计，给出了交替迭代的数值实现方案；(6)对抛物方程和时间分数阶导数的逆时问题，利用特征展开和基本解渐近分析建立了求正则化解的系统理论和方法，导出的显式正则化解保证了数值求解的有效实现。刘继军任InverseProblemsinScienceandEngineering编委，多次在AIP等国际会议上作邀请报告，在科学出版社出版两本学术专著。10篇代表作SCI他引91次，其中7篇发表于SIAMJ.Appl.Math.和反问题研究的国际顶级刊物InverseProblems。1篇代表作入选ESI高被引

5、论文(SCI他引47次)。成果被发表于SIAMJ.Numer.Anal.,SIAMJ.Math.Anal.,InverseProblems,J.Diff.Eqns.等学术刊物上的论文引用，引用人包括ApplicableAnalysis主编R.P.Gilbert,国际反问题联合会副主席M.Yamamoto,美国自然科学基金委员会数理学部前主任、InverseProblems编委W.Rundell、中国科学院院士郭柏灵先生等著名学者。5、主要完成人情况表姓名排名技术职称工作单位完成单位对本项目贡献曾经获奖情况刘继军1教授东南大学东南大学主持整个项目不同类型偏微分方程反问题的数学建模

6、及应用、正则化方法的理论研究、数值实现等。对发现点(1),(3),(4),(5),(6)有本质贡献。江苏省科学技术奖三等奖(1/8)；江苏省教学成果奖一等奖。王海兵2副教授东南大学东南大学开展波场逆散射的数学物理反问题的研究，提出了系统的正则化方法和有效数值实现。对发现点(1)，(2)有本质贡献王丽艳3副教授东南大学东南大学分析不同稀疏性度量对介质特性反演影响的研究，针对工程应用中介质成像的稀疏性正则化建模并发展有效的数值江苏省科学技术奖三等奖(6/8)重建算法。对发现点(5)有本质的贡献。杨明4副教授东南大学东南大学从事分数阶导数反问题的理论和算法研究。对发现点(6)有本质的

7、贡献。江苏省科学技术奖三等奖(4/8)6、代表性论文专著目录(列表说明)序号论文、专著名称/刊名/作者影响因子年卷页码年(卷):页码发表年月通讯作者/第一作者(中文名)SCI他引次数他引总次数是否国内完成1Thetwo-dimensionaldirectandinversescatteringproblemswithgeneralizedobliquederivativeboundarycondition/SIAMJ.Appl.Math./H.B.Wang,J.J.Liu1.510Vol.7